Записать натуральное число составленное. Натуральные числа – основы

Натуральные числа

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами.

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Разряды и классы (включая класс миллионов) подробно разобраны на нашем сайте в материалах для начальной школы.

Класс миллиардов

Если взять десять сотен миллионов, то получим новую разрядную единицу — один миллиард или в записи цифрами.

1 000 миллионов = 1 000 000 000 = 1 млрд

Десять таких единиц — десять миллиардов, десять десятков миллиардов образуют следующую единицу — сто миллиардов.

Миллиарды, десятки миллиардов и сотни миллиардов образуют четвёртый класс — класс миллиардов.

Разряды и классы натурального числа

Рассмотрим натуральное число 783 502 197 048

C помощью таблицы разрядов прочитаем это число. Для этого надо слева направо по очереди называть количество единиц каждого класса и добавлять название класса.

Название класса единиц не произносят, также не произносят название класса, если все три цифры в его разрядах — нули.

Теперь прочтем число 783 502 197 048 из таблицы: 783 миллиарда 502 миллиона 197 тысяч 48 .

Любое натуральное число можно записать в виде разрядных слагаемых.

Числа 1, 10, 100, 1000 … называются разрядными единицами. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых. Так, например, число 307 898 будет выглядеть в виде разрядных слагаемых.

307 898 = 300 000 + 7 000 + 800 + 90 + 8

Проверить свои вычисления вы можете с помощью нашего калькулятора разложения числа на разряды онлайн.

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

• 1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
• 1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
• 1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует число на единицу большее, но очень большие числа в повседневной жизни не нужны.

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол. Гугол — число, у которого 100 нулей.

Натуральные числа – основы

Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.

Общее представление о натуральных числах

На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.

Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.

Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.

Десятичная запись натурального числа

Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Указанные знаки мы называем цифрами.

Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.

Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: 703 , 881 , 13 , 333 , 1 023 , 7 , 500 001 . Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.

Записи вида: 065 , 0 , 003 , 0791 не являются записями натуральных чисел, т.к. слева располагается цифра 0 .

Верная запись натурального числа, произведенная с учетом всех описанных требований, называется десятичной записью натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.

Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Представим некий предмет, например, такой: Ψ . Можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.

Теперь представим: Ψ Ψ . Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет – 2 предмета. Натуральное число 2 читаем как «два».

Далее, по аналогии: Ψ Ψ Ψ – 3 предмета («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («четыре»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («пять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шесть»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («семь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («восемь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 («девять»).

С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.

Если запись числа совпадает с записью цифры 0 , то такое число называют «нуль». Нуль – не натуральное число, но рассматривают его вместе с прочими натуральными числами. Нуль обозначает отсутствие, т.е. нуль предметов означает – ни одного.

Однозначные натуральные числа

Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) , мы используем один знак – одну цифру.

Однозначное натуральное число – натуральное число, при записи которого используется один знак – одна цифра.

Однозначных натуральных чисел девять: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Двузначные и трехзначные натуральные числа

Двузначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два знака – две цифры. При этом используемые цифры могут быть как одинаковые, так и различные.

Например, натуральные числа 71 , 64 , 11 – двузначные.

Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.

Введем такое понятие как «десяток».

Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об 1 десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о 2 десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.

Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра 0 , то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их – 90 .

Трехзначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются три знака – три цифры. Цифры могут быть различными или повторяющимися в любом сочетании.

Например, 413 , 222 , 818 , 750 – трехзначные натуральные числа.

Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».

Одна сотня ( 1 сотня) – это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня составят 2 сотни. Прибавим еще одну сотню и получим 3 сотни. Добавляя постепенно по одной сотне, получим: четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен.

Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра 0 , она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.

Так, трехзначное натуральное число 402 обозначает: 2 единицы, 0 десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и 4 сотни.

По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа

От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два и более знаков. Многозначные натуральные числа – это двухзначные, трехзначные и так далее числа.

Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.

Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).

Например, многозначное число 4 912 305 содержит в себе: 5 единиц, 0 десятков, три сотни, 2 тысячи, 1 десяток тысяч, 9 сотен тысяч и 4 миллиона.

Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.

Чтение натуральных чисел, классы

В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице 1 укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:

Понятие о натуральном числе

Натуральные числа и десятичная запись числа

Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.

С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)

Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда состав­ляют одну единицу следующего старшего разряда.

Натуральный ряд

Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел ‒ натуральный ряд.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, .

Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наи­меньшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.

Многозначные числа

Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.

Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.

Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.

Числа 100, 543, 888 — трёхзначные:

Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.

Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. — это многозначные числа.

Классы и разряды

Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.

Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.

Эти группы называют классами.

Три первые цифры спра­ва ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.

Место, занимаемое цифрой в записи числа, назы­вают разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в за­писи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.

Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц раз­ряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.

Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.

Названия некоторых больших чисел

1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)

1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)

1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000 (тысяча миллионов)

1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)

Рассмотрим число 6 000 126 754.

Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.

В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.

Примеры прочтения чисел:

а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;

б) Число 6 000 008 читается так: шесть миллионов восемь;

в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.

Значение цифры в записи числа

Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.

Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);

В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);

В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).

Число 0 и цифра 0

Число натуральным не является.

Цифра означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).

(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источники:

http://math-prosto.ru/?page=pages/set-of-numbers/natural.php
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/naturalnye-chisla-osnovy/
http://budu5.com/manual/chapter/1169