Сравнение чисел. Сравнение натуральных чисел

Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?

В этой статье мы поговорим о сравнении натуральных чисел между собой.

Сначала разберемся, что называют сравнением двух натуральных чисел и введем понятия равных и неравных натуральных чисел. Дальше уясним, какое из двух неравных натуральных чисел больше, а какое меньше, разберем примеры сравнения натуральных чисел. После этого рассмотрим натуральный ряд чисел, поговорим о наибольшем и наименьшем числе из некоторого множества чисел. В заключении покажем, как записывается результат сравнения трех и более натуральных чисел.

Навигация по странице.

Что такое «сравнение натуральных чисел»?

Давайте для начала определимся, что мы будем понимать под сравнением двух натуральных чисел.

Представим такую картину: на дереве разместилась стая из 7 птиц, а на другом дереве – стая из 5 десятков птиц. Вроде бы и на одном дереве стая птиц, и на другом – стая птиц. Но эти стаи не похожи одна на другую. Вот этот вывод – «не похожи» – явился результатом действия, которое называют сравнением.

Под сравнением двух натуральных чисел будем понимать аналогичную «проверку на похожесть».

Будем считать, что сравнение двух натуральных чисел – это действие, которое приводит нас либо к первому, либо ко второму результату из следующих:

• первый результат сравнения назовем равенство, при этом будем говорить, что сравниваемые натуральные числа равны между собой;
• второй результат назовем неравенство, и будем говорить, что сравниваемые натуральные числа не равны между собой.

В случае неравенства двух натуральных чисел условимся считать, что одно из чисел меньше другого, и одно из чисел больше другого – это позволит значительно расширить применимость натуральных чисел.

Теперь можно переходить к определениям равных и неравных натуральных чисел, а также прояснить, какое из двух неравных чисел меньше, а какое больше.

Равные и неравные натуральные числа, знаки «=» (равно) и «≠» (не равно).

Дадим определение равных и неравных натуральных чисел.

Два натуральных числа равны между собой, если их записи одинаковы. Если же записи двух натуральных чисел отличаются, то эти числа не равны.

По определению натуральное число 402 равно числу 402 , числа 7 и 7 также равны (их записи одинаковы), а натуральные числа 55 283 и 505 283 не равны, числа 582 и 285 тоже не равны (записи этих чисел различны).

Для краткой записи равенства и неравенства двух натуральных чисел применяют знак равно «=» и знак не равно «≠» соответственно, которые располагают между числами. Например, запись 43=43 означает, что натуральное число 43 равно числу 43 , а запись 50≠51 означает, что 50 не равно 51 .

Запись, в которой присутствуют два натуральных числа и знак «=» между ними, будем называть равенством. Равенства могут быть как верными (например, 72=72 – верное равенство), так и неверными (к примеру, 76 170=861 – неверное равенство).

Сравнение однозначных натуральных чисел, знаки « » (больше).

Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Из двух однозначных натуральных чисел, записанных в строку по указанному образцу, меньше то, которое находится левее, и больше то, которое находится правее.

Например, число 1 меньше числа 2 , число 1 меньше, чем число 7 , число 6 меньше любого из чисел 7 , 8 и 9 . А 2 больше 1 ; 7 больше, чем 4 ; 6 больше любого из чисел 1 , 2 , 3 , 4 и 5 .

Для краткой записи используют знак меньше « », которые располагают между сравниваемыми числами. Например, запись 3 5 означает, что 8 больше, чем 5 .

Запись, в которой присутствуют два натуральных числа и один из знаков « » между этими числами, называют неравенством. Неравенства, как и равенства, бывают верными и неверными. Вот пример верного неравенства 2 8 – неверное.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел.

Примем за правило, что любое однозначное натуральное число меньше любого многозначного натурального числа.

В качестве примера запишем несколько верных неравенств: 9 3 , 3 043>7 . А вот неравенства 6>11 , 543 1 000 – неверные.

Осталось разобраться со сравнением многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел.

Для начала разберемся со сравнением двух неравных многозначных натуральных чисел, записи которых состоят из равного количества знаков. Прежде чем продолжить чтение, рекомендуем освежить в памяти информацию из раздела разряды натурального числа, значение разряда.

Сравнение таких чисел проводится поразрядно слева направо до нахождения неравных значений разрядов. Меньшим (большим) будем считать то число, у которого значение соответствующего разряда меньше (больше).

Для применения озвученного правила нам понадобиться принять еще одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю (напомним, что число 0 не относится к натуральным числам).

Разберемся на примерах.

Сравните два двузначных числа: 35 и 65 .

Очевидно, данные натуральные числа не равны и их записи состоят из двух знаков. Сравниваем значения разряда десятков, в результате имеем неравенство 3 50 933 399 .

Сравните многозначные натуральные числа 9 876 545 678 и 987 654 567 811 .

Запись натурального числа 9 876 545 678 состоит из 10 знаков, а числа 987 654 567 811 – из 12 . Таким образом, сравнение исходных многозначных чисел сводится к сравнению чисел 10 и 12 .

Очевидно, числа 10 и 12 не равны и они оба двузначные. Сравниваем сначала значения разряда десятков, имеем равенство 1=1 , поэтому переходим к сравнению значений разряда единиц. Имеем неравенство 0

Если смотреть слева направо, то каждой точке координатного луча, отмеченной штрихом, мы последовательно ставили в соответствие натуральные числа 1 , 2 , 3 , …, которые назвали координатами этих точек. При таком построении получается, что точки, которым соответствуют меньшие натуральные числа, расположены левее точек, которым соответствуют большие натуральные числа. Следовательно, точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

В качестве примера возьмем натуральные числа 2 и 6 . Рассмотрим две точки A и B на координатном луче, координатами которых являются натуральные числа 2 и 6 соответственно.

Очевидно, точка А лежит левее точки B , следовательно, координата точки A меньше координаты точки B , то есть, 2 10 и 512>10 , которые можно записать как двойное неравенство 10<76<512 .

Аналогично строятся тройные, четверные и т.д. неравенства. Например, мы знаем, что 5<17 , 17<305 , 305<1 000 , 1 000<3 214 , тогда можно записать 5<17<305<1 000<3 214 .

Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?

Сравнение натуральных чисел между собой – тема данной статьи. Разберем сравнение двух натуральных чисел и изучим понятие равных и неравных натуральных чисел. Выясним большие и меньшие из двух чисел на примерах. Поговорим о натуральном ряде чисел и об их сравнении. Будут показаны результаты сравнений трех и более чисел.

Сравнение натуральных чисел

Рассмотрим это на примере. Когда на дереве имеется стая, состоящая из 7 птиц, а на другом из 5 десятка птиц, то стаи считаются разными, так как не похожи друг на друга. Отсюда можно делать вывод о том, что эта непохожесть и есть сравнение.

При сравнении натуральных чисел проводится такая проверка на похожесть.

Если считать, что под сравнением натуральных чисел подразумевают действие, то оно может привести к нескольким результатам:

• Равенство. Этот случай возможен, когда числа равны.
• Неравенство. Когда числа не равны.

Когда получаем неравенство, это значит, что одно из этих чисел больше или меньше другого, что и увеличивает диапазон использования натуральных чисел.

Рассмотрим определения равных и неравных чисел. Разберем, каким образом это определяется.

Равные и неравные натуральные числа

Рассмотрим определение равных и неравных чисел.

В случае, когда записи двух натуральных чисел одинаковы, их считают равными между собой. Когда записи имеют различия, тогда эти числа неравные.

Исходя из определения, числа 402 и 402 считаются равными, также как и 7 и 7 , так как они одинаково записываются. Но такие числа, как 55283 и 505283 не равны, так как записи их не одинаковы и имеют различия, 582 и 285 разные, так как по записи отличаются.

Такие равенства имеют краткую запись. Знак равно « = » и знак неравно « ≠ ». Их расположение непосредственно между числами, например, 47 = 47 . Означает, что эти числа равные. Или 56 ≠ 65 . Это значит, что числа разные и отличаются по записи.

В записи, которая имеет два натуральных числа со знаком « = » называют равенством. Они бывают верными или неверными. Например, 45 = 45 , что считается верным равенством. Если 465 = 455 , что считается неверным равенством.

Сравнение однозначных натуральных чисел

Однозначными числами считают ряд от 1 до 9 . Из двух записанных однозначных чисел меньше считается то, которое левее, а больше то, которое правее.

Числа могут быть одновременно больше или меньше нескольких. Например, если 1 меньше 2 , то и меньше 8 , а 5 меньше всех чисел, начиная от 6 . Это относится к каждому числу данного ряда от 1 до 9 .

Краткая запись знака меньше – « », а знака больше – « > ». Их расположение между двумя сравниваемыми числами. Когда имеется запись, где 3 > 1 , это означает, что 3 больше единицы, если запись имеет вид 6 9 , тогда 6 меньше 9 .

Если в записи имеются два натуральных числа со знаками « » и « > », тогда она называется неравенством. Неравенства могут быть верными и неверными.

Запись 4 7 – верная, а 3 > 9 – неверная.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел

Если принять за правило, что все однозначные числа меньше двухзначных, тогда получим:

5 10 , 6 42 , 303 > 3 , 32043 > 7 . Эта запись считается верной. Вот пример неверной записи неравенства: 3 > 11 , 733 5 и 2 > 1 020 .

Рассмотрим сравнения многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел

Рассмотрим сравнение двух неравных многозначных натуральных чисел с равным количеством знаков. Предварительно следует повторить раздел, изучающий разряды натурального числа и значение разряда.

В таком случае производится поразрядное сравнение, то есть слева направо. Меньшим считается число, которое имеет меньшее значение соответствующего разряда и наоборот.

Чтобы решить пример, нужно уяснить, что 0 всегда меньше любого натурального числа и что он равен самому себе. Число ноль относится к разряду натуральных чисел.

Произвести сравнение чисел 35 и 63 .

Визуально видно, что числа неравные, так как по записи они отличаются. Для начала сравним десятки данного числа. Видно, что 3 6 , а это означает, что заданные числа 35 и 63 не равны, а первое число меньше второго. Это решение записывается так: 35 63 .

Ответ: 35 63 .

Произвести сравнение заданных чисел 301 и 308 .

Визуально очевидно, что числа не равны, так как их запись отличается. Они оба трехзначные, это значит, что сравнение необходимо начинать с сотен, после чего десяток и потом единиц. Получим, что 3 = 3 , далее 0 = 0 . Единицы отличаются друг от друга, имеем: 1 8 . Отсюда имеем, что 301 308 .

Ответ: 301 308 .

Сравнение многозначных натуральных чисел производится по-другому. Большим числом считают то, которое имеет меньшее количество знаков и наоборот.

Произвести сравнение заданных натуральных чисел 40391 и 92248712 .

Визуально заметим, что число 40391 имеет 5 знаков, а 92248712 – 8 .

Это значит, что количество знаков, равное 5 , меньше 8 . Отсюда имеем, что первое число меньше второго.

Ответ: 40 391 92 248 712 .

Выявить большее натуральное число из заданных: 50 933 387 или 10 000 011 348 ?

Заметим, что первое число 50 933 387 имеет 8 знаков, а второе 10 000 011 348 – 11 . Отсюда следует, что 8 меньше 11 . Значит, число 50 933 387 меньше 10 000 011 348 .

Ответ: 10000011348 > 50933387 .

Произвести сравнение многозначных натуральных заданных чисел: 9 876 545 678 и 987 654 567 811 .

Решение

Рассмотрим, что первое число имеет 10 знаков, второе – 12 . Делаем вывод, что второе число больше первого, так как 10 меньше 12 . Сравнение 10 и 12 выполняется поразрядно. Получаем, что 1 = 1 , но 0 меньше 2 . Отсюда получаем, что 0 2 . Это говорит о том, что 10 12 .

Ответ: 9 876 545 678 987 654 567 811 .

Натуральный ряд чисел, нумерация, счет

Произведем запись натуральных чисел так, чтобы последующее было больше предыдущего. Запишем этот ряд: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Эта последовательность имеет продолжение с двузначными числами: 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 . Ряд с трехзначными числами имеет вид 1 , 2 , . . , 10 , 11 , . . , 99 , 100 , 101 , . . , 999 .

Эта запись продолжается до бесконечности. Такая бесконечная последовательность чисел называется натуральным рядом чисел.

Существует еще один процесс – счет. Во время счета числа называются одно за другим, то есть таким образом, как они зафиксированы по ряду. Данный процесс применим для определения количества предметов.

Исли имеется определенное число предметов, но нам необходимо узнать количество, используем счет. Он производится, начиная с единицы. Если во время пересчета перекладывать предметы в кучу, то ее можно назвать натуральным рядом чисел. Последний предмет будет являться числом их количества. Когда процесс закончен, мы знаем их число, то есть предметы пересчитаны.

Во время счета меньше то натурально число, которое находится раньше и называется раньше. Применение нумерации используется для конкретного определения предмета, то есть присваивая ему определенный номер. Например, имеем некоторое количество предметов. На каждом из них зафиксируем их порядковый номер. Таким образом производится нумерация. Она применима для различения одинаковых предметов.

Натуральные числа на координатном луче

Для начала необходимо повторить определение координатного луча.

При просмотре слева направо видим штрихи, которые означают определенную последовательность чисел, начиная от 0 и до бесконечности. Эти штрихи называют точками. Точки, расположенные левее меньше точек, расположенных правее. Отсюда следует, что точка, имеющая меньшую координату на координатном луче, расположена левее точки с большей координатой.

Рассмотрим на примере двух чисел 2 и 6 . Поставим две точки А и В на координатном луче, располагая на значениях 2 и 6 .

Отсюда следует, что точка А находится левее, а, значит, что она меньше точки В , так как расположение точки В правее точки А . Запишем в виде неравенства: 2 6 . Иначе можно озвучить, как «точка В лежит правее точки А , значит число 6 на координатном луче больше числа 2 ».

Наименьшее и наибольшее натуральное число

Считается, что 1 – это наименьшее натуральное число из множества всех натуральных чисел. Все числа, расположенные правее него считаются больше предыдущего. Этот ряд бесконечен, поэтому нет наибольшего числа из этого множества чисел.

Мы можем выделить наибольшее число из ряда однозначных натуральных чисел. Оно равно 9 . Это легко сделать, так как количество однозначных чисел ограничено. Аналогично находим большее число из множества двузначных чисел. Оно равняется 99 . Таким же образом выполняется поиск большего числа трехзначных и так далее чисел.

При сравнении пары чисел заметим, что возможен поиск меньшего и большего числа. Если 4 – число наименьшее, тогда 40 – наибольшее из заданного ряда: 4 , 6 , 34 , 34 , 67 , 18 , 40 .

Двойные, тройные неравенства

Известно, что 5 12 , а 12 35 . Два неравенства можно представить в виде одного двойного. Такая запись имеет вид: 5 12 35 . Отсюда видно, что при записи двойного неравенства получаем три неравенства, которые запишем 5 12 , 12 35 и 5 35 .

Запись в виде двойного неравенства применима для сравнения и трех чисел. Когда необходимо произвести сравнение 76 , 512 и 10 , мы получаем три неравенства 76 512 , 76 > 10 , 512 > 10 . Их, в свою очередь, можно записать как одно, но двойное 10 76 512 .

Таким же образом выполняются тройные, четверные и так далее неравенства.

Если известно, что 5 16 , 16 305 , 305 1 001 , 1 001 3 214 , тогда запись может быть представлена в виде 5 16 305 1 001 3 214 .

Необходимо быть внимательным при составлении двойных неравенств, так как можно произвести его неверно, что повлечет за собой неправильное решение задачи.

Сравнение натуральных чисел

Сравнить два числа – это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое – меньше.

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.

Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 – равные, а 63 и 67 – неравные.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:

=, > и равно или равняется . Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b .

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.

4 = 4 – равенство.

2 + 3 = 5 – равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2 – равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 – верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 – неверное равенство).

Два других знака (> и – больше , а знак меньше . Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b b меньше a . Знаки > и или 4 – неравенство.

2 8 – неверное неравенство).

Кроме неравенств со знаками > и , которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки ⩾ и ⩽ . Знак ⩾ читается больше или равно , знак ⩽ – меньше или равно . Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 – верное неравенство.

Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак ≠ . Знак ≠ читается не равно . Например, запись a ≠ b – означает a не равно b.

Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками > , , ⩾ и ⩽ .

Правила чтения равенств и неравенств

Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая – в дательном.

Пример. 7 = 7 – семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая – в родительном.

Пример. 11 > 9 – одиннадцать больше девяти, 3 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи, сравниваемых чисел, разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

Источники:

http://www.cleverstudents.ru/numbers/comparison_of_natural_numbers.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/sravnenie-naturalnyh-chisel/
http://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/sravnenie_naturalnyh_chisel.html