Натуральный числовой ряд. Чтение и запись больших натуральных чисел

Натуральный числовой ряд. Чтение и запись больших натуральных чисел

Натуральные числа – числа, которые применяют для счета предметов. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую записьчисел называют десятичной.

Последовательность всех натуральных чисел называют натуральным рядом.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, .

Самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нем нет.

Значение цифры зависит от ее места в записи числа. Например, цифра 4 означает: 4 единицы,если она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц); 4 десятка, если она стоит на предпоследнем месте (в разряде десятков); 4 сотни, если она стоит на третьем месте от конца разряде сотен).

Цифра0 означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа.Она служит и для обозначения числа «нуль ». Это число означает «ни одного». Счет 0: 3 футбольного матча говорит о том, что первая команда не забила ни одного гола в ворота противника.

Нуль не относят к натуральным числам. И действительно счет предметов никогда не начинают с нуля.

Если запись натурального числа состоит из одного знака одной цифры, то его называют однозначным. Т.е. однозначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из одного знака одной цифры. Например, числа 1, 6, 8 – однозначные.

Двузначное натуральное число – натуральное число, запись которого состоит из двух знаков – двух цифр.

Например, числа 12, 47, 24, 99 – двузначные.

Так же по числу знаков в данном числе дают названия и другим числам:

числа 326, 532, 893 – трехзначные;

числа 1126, 4268, 9999 – четырехзначные и т.д.

Двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные и т.д. числа называют многозначными числами.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называют классами.

Миллион – это тысяча тысяч (1000 тыс.), его записывают 1 млн или 1 000 000.

Миллиард – это 1000 миллионов. Его записывают 1 млрд или 1 000 000 000.

Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие – класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Класс миллионов, класс тысяч и класс единиц (слева направо)

Число15389000286 записано в разрядной сетке (рис. 2).

Рис. 2. Разрядная сетка: число 15 миллиардов 389 миллионов 286

Это число имеет 286 единиц в классе единиц, нуль единиц в классе тысяч, 389 единиц в классе миллионов и15 единиц в классе миллиардов.

Натуральные числа

Натуральные числа определение — это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с — это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

распределительное свойство умножения

Целые числа

Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа — это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Читать еще:  Во сне видеть деревянный забор украли. Магия чисел

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  1. подсчете (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый»…);
  2. натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3предмета, 4 предмета, 5 предметов ).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .

Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0

Чтение и запись больших натуральных чисел

Натуральные числа – натуральные числа это числа которые используются для счета предметов. Множество всех натуральных чисел иногда называют натуральным рядом: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, и т.д.

Для записи натуральных чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью них, можно записать любое натуральное число. Такая запись чисел называется десятичной.

Натуральный ряд чисел можно продолжать бесконечно. Нет такого числа, которые было бы последнее, потому что к последнему числу всегда можно прибавить единицу и получится число, уже большее искомого. В таком случае говорят, что в натуральном ряду нет наибольшего числа.

Разряды натуральных чисел

В записи любого числа с помощью цифр, место на котором цифра стоит в числе имеет решающее значение. Например, цифра 3 означает: 3 единицы, если она будет стоять в числе на последнем месте; 3 десятка, если она будет стоять в числе на предпоследнем месте; 4 сотни, если она будет стоять в числе на третьем месте с конца.

Последняя цифра означает разряд единиц, предпоследняя – разряд десятков, 3 с конца –разряд сотен.

Однозначные и многозначные цифры

Если в каком-либо разряде числа стоит цифра 0, это означает, что в данном разряде нет единиц.

С помощью цифры 0 обозначается число ноль. Ноль это «ни одного».

Нуль не относится к натуральным числам. Хотя некоторые математики считаю иначе.

Если число состоит из одной цифры его называют однозначным, из двух – двузначным, из трех – трехзначными, и т.д.

Числа которые не являются однозначными еще называют многозначными.

Классы из цифр для чтения больших натуральных чисел

Для чтения больших натуральных чисел, число разбивают на группы из трех цифр, начиная с правого края. Эти группы называются классы.

Первые три цифры с правого края составляют класс единиц, следующие три – класс тысяч, следующие три – класс миллионов.

Миллион – тысяча тысяч, для записи используют сокращение млн. 1 млн. = 1 000 000.

Миллиард = это тысяча миллионов. Для записи используют сокращение млрд. 1 млрд. = 1 000 000 000.

Пример записи и чтения

Разберемся на конкретном примере, как читать и записывать большие натуральные числа. В таблице ниже записано число 15 389 000 286.

Это число имеет в классе миллиардов 15 единиц, 389 единиц в классе миллионов, нуль единиц в классе тысяч и 286 единиц в ласе единиц.

Данное число читается так: 15 миллиардов 389 миллионов 286.

Читают числа слева направо. По очереди называют число единиц каждого класса и потом добавляют название класса.

Если в каком-то классе все цифры нули, то его название не произносится. Так же не читается название класса единиц.

Чтение и запись натуральных чисел. Разряд

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

  1. Закрепить и расширить знания учащихся о формах записи чисел, значении места цифры в записи числа; совершенствовать навыки применения знаний по теме для решения задач, продолжить формирование учебных компетентностей при оперировании понятием “разряд”,
  2. Развивать качества мышления учащихся, как критичность, сообразительность, наблюдательность, память, интуиция;
  3. Формировать и развивать у учащихся положительные мотивы учебно-познавательной деятельности, интерес, творческую инициативу и активность;
  4. Выявить учащихся с повышенной образовательной мотивацией.
  1. Организационный момент – 2 мин.
  2. Устные вопросы для актуализации знаний – 4 мин.
  3. Выступление учащегося – 3 мин.
  4. Устная работа – 3 мин.
  5. Задача – ребус – 6 мин.
  6. Физкультминутка – 2 мин.
  7. Математический диктант с проверкой – 7 мин.
  8. Разбор и решение олимпиадной задачи – 6 мин.
  9. Мини-исследование – математический фокус – 5 мин.
  10. Математические стихи. Обсуждение вопроса о двойственности значения знаков, используемых для записи чисел. – 5 мин.
  11. Подведение итогов. Домашнее задание – 2 мин.

1. Организационный момент – учитель задаёт вопросы:

– Какую тему мы с вами сейчас изучаем? (“Чтение и запись натуральных чисел”.)
– Какие вы знаете способы записи чисел? (Цифрами, словами, …)
– На сегодняшнем уроке чему бы вы хотели научиться? (Учитель поощряет такие высказывания, как “узнать новое”, “научиться применять свои знания”, “научится решать задачи”, и т.п.)

Учитель: Ребята, сейчас проверим, насколько мы готовы к уроку и приобретению новых знаний.

2. Вопросы актуализации знаний:

  1. Как называются числа, которые мы применяем для счёта предметов? (Натуральные.)
  2. Какое число мы употребляем для обозначения выражения “ни одного”? ()
  3. Назовите самое маленькое натуральное число. (1)
  4. Назовите самое большое натуральное число. (Ряд натуральных чисел бесконечен, наибольшего числа в нём нет.)
  5. Ноль это натуральное число? (Нет.)
  6. С помощью каких знаков мы записываем числа? (С помощью цифр.)
  7. Что обозначают цифры в записи числа 63? (В этом числе три единицы и шесть десятков.)
  8. Как называется место цифры в записи числа? (Разряд.)
  9. Знаете ли вы кто, где и когда придумали такую запись чисел, при которой значение цифры зависит от её место в записи числа? (Следует выслушать ответы – предположения учащихся, а возможно кто-то знает ответ.)

Учитель предлагает послушать выступление учащегося.

3. Выступление учащегося. Примерный текст: (материал – Википедия). (Слайд 5).

Ученик: Для обозначения чисел мы используем 10 цифр, поэтому такую систему называют десятичной системой счисления. Причём значение каждой цифры в записи числа зависит от его места – разряда (позиции). Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда. Поэтому наша система счисления называется десятичной позиционной системой счисления.

Для записи чисел мы используем символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые арабскими цифрами. Но хотя цифры называются арабскими, придумали их не арабы.

А вот в какой стране придумали эти символы, вы узнаете, если вместо звездочек в равенства поставите цифры так, чтобы равенство было верным, а потом соответствующую букву. (Слайд 6).

1 = Н, 2 = И, 3 = К, 4 = Д, 5 = Е, 9 = М, 0 = Я

Учащиеся под руководством учителя и выступающего выполняют задание.

Ученик: Цифры, которые мы называем арабскими возникли в Индии примерно в V веке, но распространили такую форму записи цифр арабы, поэтому цифры называют арабскими. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной.

4. Устная работа.

Учитель: Ребята. Сегодня на уроке мы особое внимание уделим разряду.

На доске записаны числа. Среди них назовите такие числа, в записи которых одна и та же цифра стоит в различных разрядах, а значит, имеет различные значения. Объясните, что означает эта цифра в записи названных вами чисел.

На доске записаны: 301, 401, 43, 234. – учащиеся называю числа устно, с пояснениями.

5. Задача – ребус.

Учитель: Сегодня мы уже работали с равенством, в котором цифры заменены, например, на звездочки. Такое равенство называется ребусом. Решить ребус – значит, вместо звездочки подставить нужную цифру так, чтобы выражение было верным. Сейчас мы решим ещё одно задание на ребус.

Один учащийся решает вслух, с рассуждениями у доски.

Задание на доске (Слайд 8):

Замените звездочки цифрами так, чтобы получился верный пример на сложение:

97* + **5 + 1*86 = 2230.

Решение.
В разряде единиц 5 + 6 = 11, и для того, чтобы в сумме в разряде единиц получился 0, звездочку можно заменить только на 9. При этом 2 перенесется в разряд десятков.
7 + 8 + 2 = 17, поэтому в разряде десятков звездочку можно заменить только на 6.
В разряде сотен 9 + 2 = 11 (2 перешло из разряда десятков), то есть единица уже перенесется в разряд десятков тысяч. Тогда, сумма двух звездочек равняется 1, значит, одна заменяется на 1, другая – на 0. Во втором слагаемом звездочку в разряде сотен на 0 не заменишь, поэтому во втором слагаемом заменяем на 1, в третьем – на 0.
Ответ: 979 + 165 + 1086 = 2230.

6. Математический диктант – без вариантов, с проверкой:

Учитель: А сейчас мы проведём математический диктант. Каждый из вас будет работать самостоятельно. Внимательно слушайте задания. Те, кому трудно будет выполнять задания на слух, смотрите на доску (на доске в нужный момент последовательно будут появляться вопросы). После диктанта мы вместе проверим правильность его выполнения.

Возможны следующие варианты проведения:

  1. Один человек – сильный учащийся работает у доски, так, чтобы остальные не могли видеть, пока не придёт время проверки.
  2. Вызывать после каждого задания одного ученика к доске для записи ответа, но без комментариев “верно/ неверно”. Если работаем с доской типа IQBoard ET или IQBoard PS возможна запись на самой доске.

Текст математического диктанта (Слайды 9–10).

  1. Запишите наименьшее трехзначное число, в котором все цифры различны. (102)
  2. Запишите наибольшее натуральное число, в котором все цифры различны (9876543210 – десятизначное).
  3. Запишите двузначное число, в котором число десятков в семь раз больше цифры его единиц (включаем логику: чтобы выполнялось условиеподходит только 71).
  4. Запишите двузначное число, в котором число единиц равно наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на три меньше числа единиц. (69)
  5. Сумма цифр двузначного числа равна наибольшему из однозначных чисел, а число десятков на два меньше этой суммы. Запишите это число. (72)

Завершается этот этап работы проверкой с комментариями, а также рефлексией (поднимите руки те учащиеся, кто справился с заданием без ошибок, какое задание оказалось для вас самых трудным…).

(Нараспев, делая паузы, чтобы дети могли неоднократно выполнить каждое движение – упражнение.)

Все поднялись.
Встали в ряд.
Изучали мы разряд.
А сейчас мы отдохнем,
Руки, ноги разомнём.
Потянулись, улыбнулись.
Все нагнулись, разогнулись.
Подтянули плечики.
Прыгаем, кузнечики.
И в ладоши три хлопка.
Головою три кивка.
Мы глазами поморгаем.
Физкультуру уважаем.
Это бодрости заряд!
Шшш…(успокаиваем детей, показываем, что можно сесть)
Изучаем мы разряд…

Учитель: Кто из вас принимал участие в олимпиаде по математике? Поднимите руки. И в пятом классе и в старших классах ежегодно в школах проводятся олимпиады по математике для тех, кто увлекается математикой. Как вы думаете, чем отличаются олимпиадные задачи от тех, которые мы решаем на уроках математики (“сложнее”, “необычные”, “другие”…). Я предлагаю вам решить олимпиадную задачу (Слайд 11). Давайте посмотрим, сможем ли мы с ней справиться.

Натуральные числа, начиная с числа 1 и заканчивая числом 100, выписывают одно за другим. Получается некоторое многозначное число. Сколько цифр в записи этого числа? Сколько раз в этой записи встречается цифра 1?

Рекомендуется не сразу вызывать учащегося к доске, а дать время на обдумывание условия задачи, дать учащимся возможность попробовать написать число, сделать вывод, что всё число записывать бессмысленно, обсудить возможную форму записи (например, 123456…979899100), разбить решение задачи на этапы.

Решение:
1. 9 чисел однозначных, (99-9) чисел двузначных, 1 число трехзначное. Значит всего цифр 9 + (99 – 9)* 2 + 3 =192.
2. У чисел, которые мы выписываем, в разряде единиц цифра 1 встречается 10 раз, в разряде десятков 10 раз, в разряде сотен 1 раз. Всего цифра 1 в записи встречается 21 раз.

Предлагается закончить этот этап работы также рефлексией.

Смогли ли мы справиться с задачей?
Кому понравилась задача?
Кто считает эту задачу не очень сложной?
Кто считает, что смог бы решить эту задачу самостоятельно?

9 . Математический фокус (мини– исследование) – 5 мин.

Учитель: Любите ли Вы играть? А кто любит фокусы? Я тоже люблю фокусы. И сейчас покажу вам один из них:

Внимательно слушайте мои указания.

  1. Запишите любое четырехзначное число такое, чтобы в нем число десятков было на 1 больше числа единиц, число сотен было на 1 больше числа десятков, а число тысяч было на 1 больше числа сотен.
  2. Запишите число, которое получится, если цифры этого числа записать в обратном порядке.
  3. Вычтите из второго числа первое.
  4. Запишите результат. Назовите его громко вслух. У всех вас получится одно и тоже число (Слайд 12).

Ученики выполняют задание, проверяют, сравнивают числа, которые они записывали, обсуждают, выдвигают гипотезы. Объяснять этот фокус, то есть доказывать на уроке не нужно. Но можно вернуться к нему позже в пятом классе (например, при изучении представления числа в виде суммы разрядных слагаемых) или в кружковой работе.

Учитель: Предлагаю дома желающим проверить будет ли выполняться этот фокус, например для пятизначных чисел, или если следующая цифра будет отличаться от предыдущей не на 1, а на 2 и какое число при этом получится.

– Сегодня ребята приготовили нам стихотворения. Давайте их послушаем:

Когда-то многие считали,
Что нуль не значит ничего
И, как ни странно, полагали,
Что нуль совсем не есть число…

Коль нуль к числу ты прибавляешь
Иль отнимаешь от него
В ответе тотчас получаешь
Опять то самое число.

Цифра вроде буквы О
Это ноль, иль ничего:
Круглый ноль такой хорошенький,
Но не знает ничегошеньки!
Если ж слева, рядом с ним,
Единицу поместим,
Он побольше станет весить,
Потому что это – десять…

Напрасно думают, что ноль
Играет маленькую роль.
Мы двойку в двадцать превратим.
Из троек и четверок
Мы можем, если захотим,
Составить тридцать, сорок.
Пусть говорят, что мы ничто, –
С двумя нолями вместе
Из единицы выйдет сто,
Из двойки – целых двести!

– О какой цифре рассказывается в этих стихотворениях?
– Ноль это цифра или однозначное число?
– В каком стихотворении говориться о нуле, как о цифре, а в каком, как о числе
– Итак, давайте подведём итог: десять знаков, которые мы используем для записи чисел это и цифры и однозначные числа

11. Подведение итогов:

1) – Что нового вы узнали на уроке?
2) – сегодня на уроке нам рассказали о том, что для вычислений мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Кто из вас может напомнить, почему она так называется?
(Десятичной она называется потому, что в ней используются десять знаков – цифр и потому, что десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.
Позиционной она называется потому, что одна и та же цифра имеет разное значение в зависимости от позиции, которую занимает в записи числа.)
3) Как вы думаете, почему распространение получила именно десятичная система счисления? (Предполагаемый ответ учащихся: раньше считали на пальцах, пальцев у людей на руках десять.)

Тогда послушайте ещё одно стихотворение:

Ей было тысяча сто лет,
Она в сто первый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно.
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.

– Как вы думаете, о ком идёт речь в стихотворении? А разгадку этого стихотворения я расскажу вам на следующем уроке. Спасибо за урок. Запишем домашнее задание

Домашнее задание (в данном случае целесообразно давать в конце урока):

1) п. 1 стр.5 – повторить, № 23 (г, д), 24 (е-з), № 27.
2) Всем желающим – проверить, будет ли выполняться фокус, показанный в классе для двузначного, трехзначного, пятизначного числа, каков будет при этом результат.
3) для сильных учащихся, имеющих повышенную мотивацию к изучению математики:

ЗАДАЧА (приготовлена заранее в виде карточки): Из числа 1234567…5657585960 вычеркнуть сто цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Задание олимпиадное, однако, посильное учащимся, если предложить им разбить решение на этапы, в ходе выполнения которых они будут отвечать на вопросы:

Источники:

http://artpos.ru/holidays/naturalnyi-chislovoi-ryad-chtenie-i-zapis-bolshih-naturalnyh-chisel-chtenie.html
http://www.nado5.ru/e-book/chtenie-i-zapis-bolshikh-naturalnykh-chisel
http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/591675/

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector