Узнать делится ли число. Основные признаки делимости

Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

  • Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
    Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
  • Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
    Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
  • Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
    Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
  • Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
    Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
  • Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
    Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
  • Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
    Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Признаки делимости

В этой статье мы поговорим о таком понятии, как признаки делимости. Это определенные действия, с помощью которых можно узнать, делится ли целое число a на другое число b , которое в данном случае будет целым положительным. При это само деление не проводится. Очевидно, что для изучения данных признаков необходимо иметь общее представление о делимости чисел.

Когда мы говорим о признаках делимости, чаще всего нам приходится иметь дело не с самим числом, а с цифрами, из которых оно состоит.

С помощью определенных признаков делимости можно заключить, что некое число a можно разделить на другое число. Для одних нам будет нужна последняя цифра в записи: так можно сделать вывод о делимости на 2 , 5 и 10 . Сформулируем эти признаки.

Те числа, в конце которых стоят цифры 0 , 2 , 4 , 6 , делятся на 2 .

На 5 можно разделить те числа, которые заканчиваются на 5 и 0 .

Все числа, заканчивающиеся на 0 , можно разделить на 10 .

Например, число 34 564 обладает делимостью на 2 , поскольку в конце у него стоит 4 . Число 567 разделить на 5 нельзя, потому что последняя цифра в нем не удовлетворяет нужным условиям. Число 89 120 мы можем разделить на 10 , потому что оно заканчивается нулем.

Другие признаки делимости требуют предварительного анализа не одной, а нескольких последний цифр числа.

Признак делимости на 4 выглядит так:

Число можно разделить на 4 , если двузначное число, образованное двумя последними цифрами в нем, делится на 4 .

О признаке делимости на 8 мы говорим, когда число из трех последних цифр можно разделить на 8 .

Вот примеры таких расчетов: 99 769 775 012 делится на 4 , так как в конце у него стоит 12 , а 45 907 нельзя разделить на 8 : берем три последние цифры, убираем из них 0 и получаем 97 . Без остатка на 8 это число разделить нельзя, значит, и 45 907 делимостью на 8 не обладает.

Остальные признаки делимости требуют анализа сразу всех цифр в числе.

Число можно разделить на 3 или 9 , если сумма всех цифр в нем делится на 3 или 9 соответственно.

После вычисления суммы цифр, возможно, придется использовать указанные признаки делимости еще раз. Вот примеры таких вычислений.

Проверим, делится ли 1 001 103 . Подсчитаем сумму цифр: 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 3 = 6 . Шестерка делится на 3 , значит, и все число тоже можно разделить на 3 .

Число 65 051 991 можно разделить на 9 , потому что суммой его цифр является 36 : 6 + 5 + 0 + 5 + 1 + 9 + 9 + 1 = 36 , а его можно разделить на 9 .

А вот пример последовательного применения признаков.

Проверим, можно ли разделить 879 901 831 799 782 на 3 . Считаем сумму цифр и получаем 114 . Для проверки делимости этого числа на 3 складываем цифры уже этого числа и получаем 6 . Шесть можно разделить на 3 , значит, 114 делится на 3 и 879 901 831 799 782 998 тоже делится на 3 .

В целом можно сказать, что с помощью признаков делимости можно перейти от анализа исходного числа к анализу меньшего числа, причем второе число мы проверяем, используя тот же самый признак делимости. Иначе говоря, в случае с длинными числами признаки нужно применять циклически для получения нужного результата.

Есть и другие признаки делимости, которые объединяют в себе несколько других.

Чтобы узнать, делится ли число на 6 , нужно объединить два признака делимости – на 2 и на 3 .

Признаком делимости на 12 является соответствие двум другим признакам делимости – на 3 и 4 .

К примеру, 78 804 заканчивается на 4 , следовательно, его можно разделить на 2 . Считаем сумму цифр и получаем 27 . Это число можно разделить на 3 , получается, что это можно сделать и с исходным числом. В итоге заключаем, что 78 804 делится без остатка на 6 .

Число 208 436 316 можно разделить на 12 , поскольку его цифры в сумме дают 33 , что делится на 3 , и две последние цифры образуют число 16 , которое можно разделить на 4 .

Отметим, что иногда для проверки делимости требуется значительная вычислительная работа, что в некоторых случаях нецелесообразно. Иногда проще выполнить непосредственное деление, чтобы ответить на вопрос, делится ли это число на другое или нет.

Основные признаки делимости.

Признак делимости — правила с помощью которого можно относительно бегло найти, является ли число кратным предварительно выбранному. Если для двух целых чисел m и n имеется такое целое число k и nk=m, то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости.

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы: на единицу делится все числа. Так же элементарно и с признаками делимости на два, пять, десять. На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять – число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число; 9651 не поделится на 2, так как 1 — цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9, 4, 6 и 8, 25. Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9.

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее.

Цифру можно без остатка разделить на четыре, если у нее две последние цифры нули или являются числом, которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь. Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть, если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и «числа, оставшегося без последней цифры»делится на семь, то и само число делится на семь.

Число 296492. Возьмем последнюю цифру «2», удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 — 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру «5», выходит 10. Вычитаем 2964 — 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой «4», удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 — 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь – не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру «7», удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 — 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11.

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 — 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа, две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах – число невозможно поделить целиком на 25.

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Источники:

http://worksbase.ru/matematika/teoriya/5-priznaki-delimosti-chisel.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznaki-delimosti/
http://www.calc.ru/Osnovnyye-Priznaki-Delimosti.html

Читать еще:  7 грехов вики. Семь смертных грехов и десять заповедей
Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector
×
×