Сумма противоположных чисел. Что такое противоположные числа

Противоположные числа: определение, обозначение, примеры.

В этой статье мы изучим противоположные числа. Здесь мы ответим на вопрос, какие числа называют противоположными, покажем, как обозначают число, противоположное данному числу, и приведем примеры. Также мы перечислим основные результаты, характерные для противоположных чисел.

Навигация по странице.

Определение противоположных чисел

Получить представление о противоположных числах нам поможет координатная прямая.

Отметим на координатной прямой какую-нибудь точку М , отличную от начала отсчета. Попасть в точку М мы можем, последовательно откладывая от начала отсчета в направлении точки М единичный отрезок, а также его десятую, сотую и так далее доли. Если же мы отложим такое же количество единичных отрезков и его долей в противоположном направлении, то мы попадем в другую точку, обозначим ее буквой N . Приведем пример, иллюстрирующий наши действия (смотрите рисунок ниже). Чтобы попасть в точку М на координатной прямой мы отложили в отрицательном направлении два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного. Теперь отложим два единичных отрезка и 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, в положительном направлении. Так мы получим точку N .

Мы уже почти готовы к восприятию определения противоположных чисел, осталось лишь обговорить пару нюансов.

Мы знаем, что каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, следовательно, и точке М и точке N соответствуют некоторые действительные числа. Так вот числа, соответствующие точкам М и N , и называются противоположными.

Отдельно надо сказать о точке O – начале отсчета. Точке O соответствует число 0 . Число нуль принято считать противоположным самому себе.

Теперь мы можем озвучить определение противоположных чисел.

Два числа называются противоположными, если в соответствующие этим числам точки на координатной прямой можно попасть, отложив от начала отсчета в противоположных направлениях одинаковое количество единичных отрезков, а также долей единичного отрезка, число 0 противоположно самому себе.

Обозначение противоположных чисел и примеры

Пришло время ввести обозначения противоположных чисел.

Для обозначения числа, противоположного данному числу, используют знак минус, который записывают перед данным числом. То есть число, противоположное числу a , записывается как −a . Например, числу 0,24 противоположно число −0,24 , а числу −25 противоположно число −(−25) .

Приведем примеры противоположных чисел. Пара чисел 17 и −17 (или −17 и 17 ) является примером противоположных целых чисел. Числа и – это противоположные рациональные числа. Другими примерами противоположных рациональных чисел являются пары чисел 5,126 и −5,126 . а также 0,(1201) и −0,(1201) . Осталось привести несколько примеров противоположных иррациональных чисел. Значения числовых выражений вида и – являются противоположными иррациональными числами. Другой пример: и – противоположные иррациональные числа.

Результаты, характерные для противоположных чисел

Противоположные числам присущи некоторые характерные результаты. Перечислим их и дадим необходимые комментарии.

Начнем с утверждения, которое напрямую следует из определения противоположных чисел. Его формулировка такова: число, противоположное положительному числу, отрицательно, а число, противоположное отрицательному числу, положительно (при необходимости посмотрите материал статьи положительные и отрицательные числа). Это и понятно, так как точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся по разные стороны от начала отсчета.

Из озвученного утверждения выделим один очень важный результат, который с помощью букв записывается так: −(−a)=a , где a – любое положительное число. Поясним этот момент на примере. По координатной прямой видно, что числу 7 противоположно число −7 , а числу −7 противоположно число 7 . Но принятые нами обозначения противоположных чисел вынуждают нас записать число, противоположное −7 , как −(−7) . Следовательно, −(−7)=7 , и вообще −(−a)=a . Отсюда можно заключить, что записи противоположных чисел отличаются лишь знаком минус.

Переходим к следующему результату – свойству симметричности, которое также вытекает из определения противоположных чисел: если число a противоположно числу b , то b противоположно a . Здесь комментарии излишни.

Озвучим следующее утверждение: для каждого действительного числа есть единственное противоположное число. Оно базируется на том, что данной точке координатной прямой соответствует единственное действительное число.

Из определения модуля числа вытекает, что модули противоположных чисел равны. Действительно, точки координатной прямой, соответствующие противоположным числам, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета.

Наконец, сумма противоположных чисел равна нулю. Запишем последнее изречение в буквенном виде: a+(−a)=0 . Приведем несколько примеров. Сумма противоположных чисел 109 и −109 равна 0 , сумма −54,43+54,43 равна нулю, результатом сложения противоположных чисел и также является нуль.

Противоположные числа, определение, примеры

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Что такое противоположные числа

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку M (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена M , то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее N . Например, от M до нуля ­– расстояние в 2 , 4 единичных отрезка, и от N до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам M и N соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Допустим, наше число равно a , следовательно, ему противоположно – a (минус a ). Точно таким же образом для 0 , 26 противоположно – 0 , 26 , а для 145 это будет – 145 . Если исходное число само является отрицательным, например, – 9 , то противоположное мы записываем как – ( – 9 ) .

Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: 12 и – 12 . Противоположные рациональные числа – это 3 2 11 и – 3 2 11 , а также 8 , 128 и − 8 , 128 , 0 , ( 18901 ) и − 0 , ( 18901 ) и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений 2 + 1 и – 2 + 1 .

Противоположными иррациональными числами также будут e и – e .

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно − ( − a ) = a . Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем число 5 . С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число – 5 , и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное – 5 как – ( – 5 ) . Получается, что – ( – 5 ) = 5 . Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Если некоторое число a является противоположным числу b , тогда и b является противоположным числу a .

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим 0 .

В буквенном виде это утверждение выглядит как a + ( − a ) = 0 .

Приведем примеры таких вычислений:

890 + ( – 890 ) = 0 – 45 + 45 = 0 7 + ( – 7 ) = 0

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.

Противоположные числа

Содержание

1. Определение противоположных чисел
2. Примеры
3. Противоположные числа на координатной оси
4. Как найти число, противоположное данному
5. Основные свойства противоположных чисел
6. Пример
7. Что мы узнали?

Бонус

• Тест по теме

Определение противоположных чисел

Противоположными называются два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.

Обозначим некоторое число буквой a. Тогда противоположным ему будет число -a.

Примеры

Приведем несколько примеров пар противоположных чисел:

Противоположные числа на координатной оси

Проведем координатную ось – прямую линию, на которой отмечено начало координат, задан масштаб и стрелкой указано положительное направление.

Изобразим на координатной оси два противоположных числа a и -a.

Рис. 1. Изображение противоположных чисел на координатной оси.

Из рис. 1 видно, что противоположные числа расположены на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от начала координатной оси. Поэтому такие числа и называются противоположными.

Как найти число, противоположное данному

Сформулируем правило, по которому мы можем написать два противоположных числа.

Пусть дано число a. Чтобы найти противоположное ему число, нужно к числу a приписать знак « – ».

Есть только одно число, которое является противоположным самому себе. Это число 0 (нуль).

В городе Будапеште, который является столицей Венгрии, установлен памятник нулю. Высота памятника составляет 3 м.

Рис. 2. Памятник нулю в Будапеште.

В России тоже есть несколько мест, которые называют памятниками нулю. Например, памятный знак нулевого километра у Воскресенских ворот в Москве.

Рис. 3. Памятный знак нулевого километра в Москве.

Многие считают, что если кинуть монетку так, чтобы попасть на бронзовый памятный знак, и загадать желание, оно обязательно сбудется. А если это высокие памятники, как памятник в Будапеште, то существует следующая легенда: нужно пролезть внутрь нуля – тогда к зарплате прибавится несколько нулей.

Основные свойства противоположных чисел

Перечислим основные свойства противоположных чисел. Справедливость этих свойств подтверждает рис. 1.

• Для каждого числа существует только одно число, которое ему противоположно.

Это объясняется тем, что для каждой точки координатной оси существует только одна точка, симметричная ей относительно нуля.

• Два противоположных числа имеют разные знаки: одно из них является положительным, а второе отрицательным.

Это свойство следует из того, что противоположные числа находятся на координатной оси по разные стороны от нуля, они имеют разные знаки.

Исключение: число 0.

Таким образом, если исходное число является положительным, то противоположное ему будет отрицательным. А если исходное число является отрицательным, то противоположное ему будет положительным.

• Сумма противоположных чисел всегда равна 0.

Это объясняется тем, что они одинаковы по модулю, но имеют разные знаки.

Пример

Рассмотрим число 4.

Припишем ему знак « – ». Получим противоположное число -4.

Найдем сумму этих чисел:

Что мы узнали?

Из темы по алгебре, которая изучается в 6 классе, мы узнали, что противоположные числа образуют пару чисел, из которых одно является положительным, а второе – отрицательным. Единственным исключением является число 0, которое противоположно самому себе. На числовой (координатной) оси противоположные числа находятся на одинаковых расстояниях, но в противоположных направлениях от начала координат.

Источники:

http://www.cleverstudents.ru/numbers/opposite_numbers.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/protivopolozhnye-chisla/
http://obrazovaka.ru/matematika/protivopolozhnye-chisla-pravilo-6-klass.html