Натуральные числа и где они используются. Числа

Натуральные числа и где они используются. Числа

Определение

Натуральными числами называются числа, предназначенные для счета предметов. Для записи натуральных чисел используются 10 арабских цифр (0–9), положенных в основание общепринятой для математических расчетов десятичной системы счисления.

Последовательность натуральных чисел

Натуральные числа составляют ряд, начинающийся с 1 и охватывающий множество всех положительных целых чисел. Такая последовательность состоит из чисел 1,2,3, … . Это означает, что в натуральном ряду:

1. Есть наименьшее число и нет наибольшего.
2. Каждое следующее число больше предыдущего на 1 (исключение – сама единица).
3. При стремлении к бесконечности числа растут неограниченно.

Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.

Классы натуральных чисел

Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.

• в числе 276: 2 сотни, 7 десятков, 6 единиц
• в числе 1098: 1 тысяча, 9 десятков, 8 единиц; разряд сотен здесь отсутствует, поскольку выражен нулем.

Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):

• три последних цифры в числе – это единицы, десятки и сотни;
• три предыдущие – это единицы, десятки и сотни тысяч;
• три стоящие перед ними (т.е.7-я, 8-я и 9-я цифры числа, считая от конца) – это единицы, десятки и сотни миллионов и т.д.

То есть всякий раз мы имеем дело с тремя цифрами, означающими единицы, десятки и сотни более крупного наименования. Такие группы формируют классы. И если с первыми тремя классами в повседневной жизни приходится иметь дело более или менее часто, то другие следует перечислить, потому что далеко не все помнят наизусть их названия.

• 4-й класс, следующий за классом миллионов и представляющий собой числа из 10-12 цифр, называется миллиард (либо биллион);
• 5-й класс – триллион;
• 6-й класс – квадриллион;
• 7-й класс – квинтиллион;
• 8-й класс – секстиллион;
• 9-й класс – септиллион.

Сложение натуральных чисел

Сложение натур.чисел представляет собой арифметическое действие, позволяющее получить число, в котором содержится столько же единиц, сколько имеется в складываемых числах вместе.

Знаком сложения является знак «+». Складываемые числа называются слагаемыми, получаемый результат – суммой.

Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.

Многозначные числа, которые прибавлять в уме затруднительно, принято складывать в столбик. Для этого числа записывают одно под другим, выравнивая по последней цифре, то есть пишут разряд единиц под разрядом единиц, разряд сотен под разрядом сотен и так далее. Далее нужно попарно сложить разряды. Если сложение разрядов происходит с переходом через десяток, то этот десяток фиксируется как единица над разрядом слева (то есть следующим за ним) и суммируется вместе с цифрами этого разряда.

Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание – это арифметическое действие, обратное сложению, которое сводится к тому, что по имеющейся сумме и одному из слагаемых нужно найти другое – неизвестное слагаемое. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым; число, которое вычитают, – вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. Знак, которым обозначают действие вычитания, является «–».

При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.

Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.

Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом. Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.

Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.

Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов. Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10. Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.

Произведение натуральных чисел

Произведение (или умножение) натуральных чисел – это арифметическое действие, представляющее собой нахождение суммы произвольного количества одинаковых слагаемых. Для записи действия умножения используют знак «·» (иногда «×» или «*»). Например: 3·5=15.

Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.

Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.

При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме. При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают. При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.

Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.

Примечание

1. Произведение любого натур.числа на 1 (или 1 на число) равно самому числу. Например: 376·1=376; 1·86=86.
2. Когда один из множителей либо оба множителя равны 0, то и произведение равно 0. Например: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

Деление натуральных чисел

Делением называют арифметическое действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей может быть найдет другой – неизвестный – множитель. Деление является действием, обратным умножению, и используется для проверки правильности выполненного умножения (и наоборот).

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).

Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.

Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него. Делитель умножают на этот множитель и вычитают его из делимого. Разность и будет остатком от деления. Произведение делителя на множитель называют неполным частным. Внимание: остаток обязательно должен быть меньше подобранного множителя! Если остаток больше, то это означает, что множитель подобран неверно, и его следует увеличить.

Подбираем множитель для 7. В данном случае это число 5. Находим неполное частное: 7·5=35. Вычисляем остаток: 38-35=3. Поскольку 3

Натуральные числа

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа , возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

1. натуральные числа — числа, возникающие при подсчете (нумерации) предметов ( первый , второй , третий , четвёртый , пятый”…);
2. натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3предмета, 4 предмета, 5 предметов ).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств .

Отрицательные и нецелые ( рациональные , вещественные ,…) числа к натуральным не относят.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 или Z 0 .

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение: множитель × множитель = произведение;
• возведение в степень: a b , где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

• вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
• деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0

Понятие о натуральном числе

Натуральные числа и десятичная запись числа

Чтобы сосчитать некоторое количество предметов, используются числа, которые называют натуральными.

С помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое натуральное число. (подобным образом мы используем буквы алфавита, чтобы записать слова)

Такую запись числа называют десятичной ‒ десять единиц каждого разряда состав­ляют одну единицу следующего старшего разряда.

Натуральный ряд

Если натуральные числа записать в порядке возрастания, то получится ряд натуральных чисел ‒ натуральный ряд.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, .

Каждое число в этом ряду меньше последующего на единицу. Наи­меньшее число среди натуральных чисел — это 1, а наибольшего числа нет.

Многозначные числа

Натуральное число называют однозначным, если его запись состоит из одного знака — одной цифры.

Например, числа 3, 7, 9 — однозначные.

Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр, то его называют двузначным.

Например, числа 25, 44, 65, 80 — двузначные.

Числа 100, 543, 888 — трёхзначные:

Числа 2000, 6791, 1060 — четырёхзначные и т. д.

Двузначные, трехзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. — это многозначные числа.

Классы и разряды

Прочитать записи однозначных, двузначных и трехзначных чисел (например: 7, 54, 976) затруднений не вызывает.

Чтобы прочесть многозначное натуральное число, его необходимо разбить справа налево на группы по три цифры в каждой. Крайняя левая группа может состоять из одной или двух цифр.

Эти группы называют классами.

Три первые цифры спра­ва ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и т. д.

Место, занимаемое цифрой в записи числа, назы­вают разрядом.

Если считать справа налево, то первое место в за­писи числа называют разрядом единиц, второе — разрядом десятков, третье — разрядом сотен и т. д.

Например, в числе 5034 имеем 4 единицы разряда единиц, 3 единицы разряда десятков, 0 единиц раз­ряда сотен и 5 единиц разряда тысяч.

Можно также сказать, что в классе единиц 34 единицы.

Названия некоторых больших чисел

1 тысяча (1 тыс.) – 1 000 (тысяча)

1 миллион (1 млн) – 1 000 000 (тысяча тысяч)

1 миллиард (1 млрд) – 1 000 000 000 (тысяча миллионов)

1 триллион (1 трлн) – 1 000 000 000 000 (тысяча миллиардов)

Рассмотрим число 6 000 126 754.

Его читают: 6 миллиардов 126 тысяч семьсот пятьдесят четыре.

В классе миллионов во всех разрядах стоят нули. Поэтому при чтении числа 6 000 126 754 не произносят название этого класса.

Примеры прочтения чисел:

а) Число 200 700 читается так: двести тысяч семьсот;

б) Число 6 000 008 читается так: шесть миллионов восемь;

в) Число 14 000 002 000 читается так: четырнадцать миллиардов две тысячи.

Значение цифры в записи числа

Значение цифры зависит от её позиции (места) в записи числа.

Например, в записи числа 56 978 цифра 8 означает 8 единиц, так как она стоит на последнем месте в записи числа (в разряде единиц);

В записи числа 42 389 цифра 8 означает 8 десятков, так как она стоит на предпоследнем месте в записи числа (в разряде десятков);

В записи числа 5 300 847 цифра 8 означает 8 сотен, так как она стоит на третьем месте от конца в записи числа (в разряде сотен).

Число 0 и цифра 0

Число натуральным не является.

Цифра означает отсутствие единиц данного разряда в десятичной записи числа. Она служит и для обозначения числа «нуль» (что означает ‒ «ни одного»).

(Например, счёт 1 : 0 хоккейного матча говорит о том, что вторая команда не забила ни одной шайбы в ворота противника.)

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источники:

http://artpos.ru/fortune-telling-online/naturalnye-chisla-i-gde-oni-ispolzuyutsya-chisla-naturalnye-chisla.html
http://myalfaschool.ru/articles/naturalnye-chisla
http://budu5.com/manual/chapter/1169