Мпри когда мы меняем знак. Линейные неравенства

Неравенства. Виды неравенств

Неравенства – выражения вида (a>b), (a 5).

Виды неравенств:

Если (a) и (b) – это числа или числовые выражения , то неравенство называется числовым. Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные.

Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)

(log_<4> <(x+1)>10), подставим вместо икса число (7) –получим верное числовое неравенство: (13>10). А если подставим (2), будет неверное числовое неравенство (8>10). То есть (7) – это решение исходного неравенства, а (2) – нет.

Однако, неравенство (x+6>10) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и (5), и (12), и (138). И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют равносильные преобразования неравенств . Для нашего случая имеем:

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми промежутками , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Когда в неравенстве меняется знак?

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, знак сравнения меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства (3>1). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: (−9 -1)

Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое , поэтому само значение (-1) «выкалываем» и в ответ не берем

Линейные неравенства. Исчерпывающий гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».

Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.

Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.

Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!

Что такое «линейные неравенства»?

Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).

Так вот, предположим, что у Васи больше, чем яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

Если обозначить через количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на и получаем:

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем яблока.

Ну вот и справились с неравенством!

Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.

Линейные неравенства – это неравенства вида:

где и – любые числа, причем ; – неизвестная переменная.

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.».

Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».

Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Правила преобразования неравенств

Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.

Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

7text< >Rightarrow 3x>7+4Rightarrow 3x>11″>

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что 7″> равносильно 11″> .

Или вот такой пример:

В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:

Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.

Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.

В первом примере мы остановились на 11″> . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число :

Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.

Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на . Разделим обе части неравенства на :

Делили на положительное число , поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.

Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:

• При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
• При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

Делим на отрицательное число , тогда знак неравенства меняется на противоположный:

Заметил, знак (меньше) заменили на знак “> (больше)?

Или вот такой пример:

Делим обе части на отрицательное число , меняя при этом знак неравенства на противоположный:

Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах

Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.

Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.

Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:

А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:

Ну вот, мы почти решили наше неравенство – осталось записать ответ в виде промежутка. Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток. Для наглядности изображу решения на оси:

Запишем ответ: .

Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:

Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток:

Ответ:

Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»?

Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.

Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!

Неравенство нестрогое, значит, включается в наш промежуток.

Ответ:

Проводим соответствующие преобразования:

Делим обе части на отрицательное число , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:

Неравенство нестрогое, поэтому – не включается в промежуток:

Ответ:

Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:

Ответ:

Линейные неравенства с двумя переменными

В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства , .

Линейные неравенства с двумя переменными имеют вид:

где , и – любые числа, .

А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная .

Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).

Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.

Давай разберем вот такой пример:

Решение:

Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.

Построим график уравнения . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.

Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру, и . Вот, что у меня получилось:

Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:

Как можно заметить, прямая разбила плоскость на две полуплоскости. Все точки одной из полуплоскостей будут являться решением исходного неравенства.

Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак “> , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:

Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области – решения неравенства.

ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Линейными неравенствами называются неравенства вида:

где и – любые числа, причем ; – неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак “> на знак , и наоборот; знак на знак , и наоборот).

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

можно кликнув по этой ссылке.

Комментарии

Спасибо. всё чётко и ясно

Пожалуйста, Тамара. Мы рады, что тебе понра. 🙂

А есть примеры с квадратными уравнениями? С нахождением дискриминанта ну короче говоря где получается два корня?

Привет, Андрей. Вот раздел “квадратные уравнения”: https://youclever.org/book/kvadratnye-uravneniya-1, если ты об этом. Там вверху переключатель уровней сложности. По этой теме три уровня.

Вообще, если зайти на главную страницу сайта youclever.org, то можно увидеть оглавление по всей математике. Любую тему. Это наш учебник “От чайника до монстра” с 8 по 11 класс для разного уровня подготовки. Там есть примеры.

Объясните, пожалуйста, что значит “лежат выше графика прямой”

Инна, привет! Это те точки на плоскости, которые закрашены. Они лежат выше графика прямой, проходящей через точки В и С.

2x←(-4) знак тоже поменяется?

Мне 70 лет. Хочу вспомнить логарифмы В соцсетях я есть в “одноклассниках”

Прекрасное желание, Ольга! У нас вот здесь хорошо написано про логарифмы. Человеческим языком. Думаю легко вспомните. https://youclever.org/book/logarifmy-1

А если условие ураанения между двумя числами со знаками больше и меньше 18

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Линейные неравенства.

Линейными называются неравенства левая и правая часть которых представляет собой линейные функции относительно неизвестной величины. К ним относятся, например, неравенства:

2х-1-х+3; 7х0;

5>4 – 6x 9-x 0 либо ax + b 0 либо ax + b 44 является математической моделью задачи о периметре параллелограмма. Если в этом неравенстве заменить переменную х на, например, число 16, то получим верное числовое неравенство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Решением неравенства называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Следовательно, каждое из чисел 15,1; 20;73 выступают решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не является его решением.

Решить неравенство означает установить все его решения или доказать, что решений не существует.

Формулировка решения неравенства сходна с формулировкой корня уравнения. И все же не принято обозначать «корень неравенства».

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы меняем его другим, более простым уравнением, но равнозначным заданному. По схожей схеме находят ответ и неравенства. При смене уравнения на равнозначное ему уравнение пользуются теоремой о перенесении слагаемых из одной части уравнения в противоположную и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. При решении неравенства есть существенное различие его с уравнением, которое заключается в том, что всякое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой способ отсутствует, так как бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки – это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не изменяет множества решений.

Сходные правила решения неравенств .

Если какое-либо слагаемое переместить из одной части неравенства в другую, заменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Используя эти правила вычислим нижеследующие неравенства.

1) Разберем неравенство 2x – 5 > 9.

Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.

2x – 5 > 9 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее поделили все на 2 и имеем x > 7. Нанесем множество решений на ось x

Нами получен положительно направленный луч. Отметим множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала х(7; ∞). А что выступает частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша задача – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

Разберем пример 2:

2) Решить неравенство 4a – 11 > a + 13.

Решим его: а переместим в одну сторону, 11 переместим в другую сторону, получим 3a a + 13 3a a

Источники:

http://cos-cos.ru/math/116/
http://youclever.org/book/linejnye-neravenstva-1
http://www.calc.ru/Lineynyye-Neravenstva.html