Какое число делится 5 без остатка. Признаки делимости, или что не поделили числа

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4: число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5: если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8: число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.
Читать еще:  Какая религия была до христианства. Во что верили славяне до принятия христианства на Руси? Распространение кровавого христианства на Руси

Признак делимости на 5: примеры, доказательство

Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на 5 : сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.

Признак делимости на 5 , примеры

Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.

Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на 5 до начала вычислений, визуально.

По свойству делимости на 5 делится 0 , так как 0 делится на любое целое число и дает в результате 0 . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на 5 без остатка делится только 5 . Остальные числа от 1 до 9 на 5 без остатка не делятся.

Какие из чисел 74 , − 900 , 10 000 , − 799 431 , 355 , − 5 делятся на 5 ?

Решение

Из всех приведенных выше чисел 0 или 5 в записи справа содержат только числа – 900 , 10000 , 355 и – 5 . Эти числа делятся на 5 . Остальные числа на 5 без остатка не делятся.

Ответ: − 900 , 10 000 , 355 и – 5 делятся на 5 .

Доказательство признака делимости на 5

Приведем теорему и проведем ее доказательства.

Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 5 , является наличие в записи числа a справа цифр 0 или 5 .

Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение a 1 · 10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .

Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число a делится на целое число b , то произведение m · a , где m – любое целое число, делится на b . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число 10 делится на 5 , то и произведение a 1 · 10 тоже делится на 5 .

Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.

Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .

Примером записи может быть: 54 327 = 5 432 · 10 + 7 .

Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.

Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.

Другие случаи делимости на 5

Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на 5 .

Делится ли на 5 значение выражения 10 2 · n − 5 при некотором натуральном n ?

Решение

Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения n в исходное выражение. Получаем: n = 1 имеем 10 2 · 1 − 5 = 95 , при n = 210 2 · 2 − 5 = 9 995 , при n = 3 – 102 · 3 − 5 = 999 995 , … . Получается, что независимо от значения n мы получаем запись, которая справа содержит цифру 5 . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение 10 2 · n − 5 делится на 5 при любом натуральном n .

Читать еще:  « Нет для нас жизни после смерти. В смерти мы прекратим быть

Ответ: Да.

Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .

Докажите, что 6 n + 10 n + 14 делится на 5 при любом натуральном n .

Решение

Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения 6 n + 10 n + 14 на 5 при n = 1 . Получаем: 6 1 + 10 · 1 + 14 = 30 . Число 30 содержит на конце записи цифру 0 , а это значит, что оно делится на 5 без остатка.

Теперь предположим, что значение выражения 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при значении n = k .

Фактически, нам нужно установить, что значение выражения 6 k + 10 k + 14 делится на 5 .

Докажем, что 6 n + 10 n + 14 при n = k + 1 делится на 5 .

6 k + 1 + 10 · ( k + 1 ) + 14 = = 6 · 6 k + 10 k + 24 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) – 50 k – 60 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) – 5 · ( 10 k + 12 )

Согласно свойству делимости, вся разность делится на 5 , так как выражение 6 · 6 k + 10 k + 14 делится на 5 и выражение, содержащее 5 в качестве множителя, 5 · 10 k + 12 также делится на 5 .

Ответ: 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при любом натуральном n методом математической индукции.

Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .

Делится ли 6 n + 10 n + 14 ​​​​​​ на 5 при натуральных n ?

Решение

Мы можем представить 6 как сумму 5 + 1 . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:

6 n + 10 n + 14 = ( 5 + 1 ) n + 10 n + 14 = = ( C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 · 1 n – 2 + C n n – 1 · 5 · 1 n – 1 + C n n · 1 n ) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n – 1 + C n 1 · 5 n – 2 + … + C n n – 2 · 5 1 + 3 n + 3

Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на 5 при любом натуральном n , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель 5 .

Ответ: Да, делится.

Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на 5 при некотором n : мы можем доказать, что данное выражение делится на 5 при при n = 5 · m , n = 5 · m + 1 , n = 5 · m + 2 , n = 5 · m + 3 и n = 5 · m + 4 , где m – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на 5 при любом целом n .

Докажите, что n 5 − n делится на 5 при любом целом n .

Решение

Раскладываем данное выражение на множители: n 5 − n = n · ( n 4 − 1 ) = n · ( n 2 − 1 ) · ( n 2 + 1 ) = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) .

Очевидно, что первый множитель n при n = 5 · m делится на 5 . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на 5 .

Множитель n − 1 = 5 · m при n = 5 · m + 1 делится на 5 . Следовательно, все произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 согласно свойству делимости.

Множитель n 2 + 1 при n = 5 · m + 2 будет равен 25 · m 2 + 20 · m + 5 = 5 · ( 5 · m 2 + 4 · m + 1 ) . Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .

Множитель n + 1 при n = 5 · m + 4 будет равен 5 · m + 5 .

Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .

Читать еще:  Актеры родившиеся 5 января. Краткое описание мужчины

Ответ: n 5 − n = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 при любом целом n .

Признаки делимости

Содержание

  1. Что такое делимость?
  2. Признаки делимости
  3. На 2,4,8
  4. На 3 и 9
  5. На 5
  6. На 6
  7. На 7
  8. На 10
  9. На 11
  10. Что мы узнали?

Бонус

  • Тест по теме

Что такое делимость?

Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.

Признаки делимости

Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности.

На 2,4,8

Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.

  • Число делится на 2 только если является четным.
  • Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
  • Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8

На 3 и 9

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.

То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3

Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.

Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7

На 10

Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0

По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.

На 11

Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:

Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.

Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.

Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.

Источники:

http://tehtab.ru/guide/guidemathematics/mathsfortheyoungest/dividingsimplefigures/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznak-delimosti-na-5/
http://obrazovaka.ru/matematika/priznaki-delimosti-tablica-s-primerami.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему: