Исторически сложившаяся система счисления. Древние системы счисления

История систем счисления

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры. они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом “число”?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было “привязано” к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более “мелкие” числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления – это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и “вносит” в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и “вносит” в величину числа 300.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Позиционные системы счисления – результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой – либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие “записи” при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 – 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной (“палочной”) системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков – “палочка”. Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система

В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

Единицы Десятки Сотни

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Вавилонская шестидесятеричная система

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации – вавилонской – люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин – для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60 2 , 216000=60 3 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом – в позиционной системе с основанием 60. число единичный шестидесятеричный

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой “ноль” в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

• 1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);
• 2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из “младших” может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) – только C(100), перед V(5) – только I(1);
• 3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные “цифры”).

История систем счисления

История записи чисел и систем счисления ведется с появления счета у людей. Люди изображали количество различных предметов с помощью засечек или черточек. Их наносили на поверхности, служившие в то время «бумагой»: глиняные дощечки, древесную кору или камни. Первые сведения о таких записях археологи относят к периоду палеолита, то есть к 10-11 тысячелетию до нашей эры.

Такой способ записи получил название единичной системы счисления. Все числа обозначались строкой черточек (или любых других знаков, например, точек): чем больше знаков в строке – тем больше число. Эта система счета была не удобна, ведь, при больших числах, было легко ошибиться в количестве палочек. Каждый раз их приходилось пересчитывать.

Для упрощения подсчета предметы стали объединять в небольшие группы по 3, 5 и 10 единиц. При этом каждой группе соответствовал свой знак-обозначение на письме. Поскольку самым удобным счетом всегда был счет на пальцах, то первыми свое обозначение получили объединения предметов из 10 и 5 единиц. Именно это положило начало удобной системе счисления.

Система, которой пользовались древние греки, называлась аттической. Первые четыре числа записывались черточками. Для числа пять существовал свой знак – «пи», как и для числа десять – первая буква слова «дека». Сотня, тысяча и десять тысяч на письме обозначались как H, X, M.

На смену этой системе в третьем веке до нашей эры пришла ионийская система. Числа от одного до девяти в ней обозначались буквами греческого алфавита: с первой по девятую. Буквами с десятую по восемнадцатую обозначались десятки – от десяти до девяноста. И последними девятью записывались сотни – от ста до девятисот.

С помощью алфавита также записывали числа восточные и южные славяне. Часть из них пользовалась славянским алфавитом, наделяя каждую букву числовым значением. Другая – только теми буквами, которые встречаются в греческом алфавите. Отличать буквы от цифр позволял специальный значок, который ставился над числом – «титло». Такая нумерация применялась в России до XVIII века.

Начало правления Петра I принесло в страну арабскую нумерацию, которой пользуются и сегодня. Однако в богослужебных книгах до сих пор используют славянскую систему записи.

Каждый из нас хотя бы немного знаком с «римской системой», которой обозначаются века, юбилейные даты, названия конференций, строфы стихов и главы книг. Именно ей пользовались когда-то Древние римляне. Исследователи считают, что она была заимствована жителями Рима у этрусков. Все целые числа в этой системе до 5000 записывают с помощью цифр I, V, X. Если впереди стоит большая цифра, а за ней – меньшая, они складываются. Если наоборот – меньшая перед большей – вычитаются. Одна и та же цифра ставится подряд не более, чем три раза. Любое арифметическое действие в такой записи чисел становится сложной задачей. Однако до XIII века в Италии и до XVI века в странах Западной Европы пользовались именно ей.

Первую поместную или позиционную нумерацию «создали» в Вавилоне в 4000 годах до нашей эры. Ее суть в том, что одна цифра может обозначать разные числа, в зависимости от места, где стоит. Яркий пример – современная десятичная система. В зависимости от позиции в числе цифра может обозначать и десяток, и единицу, и сотню.

Вавилонская система была шестидесятеричной, поскольку за основу изначально взяли не 10, а 60. Все числа меньше записывались двумя знаками – десятков и единиц. Сами числа записывались на глиняных табличках треугольными палочками, поэтому имели вид клина. Знаки повторяли в зависимости от числа.

Шестидесятеричная система не распространилась дальше Древнего Вавилона, но шестидесятеричные дроби использовались в странах Средней Азии, Западной Европы, Среднего Востока и Северной Африки. До появления десятичных дробей они играли важную роль в астрономии и других науках. Сегодня об этой системе нам напоминает деление минуты на 60 секунд, а часа – на 60 минут, угла на 360 градусов.

Все системы счисления условно можно разделить на позиционные и непозиционные. Те знаки, которые мы в них используем для записи чисел, называют цифрами.

Положение цифры в записанном числе в непозиционных системах не влияют на величину, которая ей обозначается. Это, к примеру, системы, использующие буквы для записи цифр – славянская и римская.

Положение цифры в позиционных системах определяет значение величины, которая ей записана. При этом позиция – место, которое занимает эта цифра в числе. А количество цифр, которые используются для записи, называются основанием системы. Примерами такой системы – вавилонская шестидесятеричная и современная десятичная.

Позиционные системы используют небольшое число знаков, что позволяет просто записывать большие числа. Именно поэтому она более распространена сегодня в мире. Кроме того, она обеспечивает удобство и простоту при выполнении арифметических действий над числами.

Самое большое распространение в наше время получила индо-арабская десятичная система. В ней впервые появился ноль при записи чисел. Такое название она носит, поскольку использует десять цифр.

Легче всего понять различия между позиционной системой и непозиционной системой, сравнив два числа, записанные в одной и другой. В первой сравниваются цифры, стоящие в одном и том же месте, слева на право. Чем больше число, тем больше сама величина. Например, число 245 будет больше числа 123, потому что 2 в этой позиции больше 1. Для непозиционной системы такой закон не действует. Если мы будем сравнивать римские IX и VI, то первое будет больше второго, хотя I в одинаковой позиции меньше V.

Двоичная система счисления с основанием 2 представляет положительную позиционную систему счисления с целыми числами. Она позволяет записать все числовые значения с помощью двух знаков. Чаще всего используют цифры 0 и 1.

Основанием для восьмеричной положительной позиционной системы служит 8. Любое число в ней можно записать с помощью цифр от 0 до 7. Эту систему используют цифровые и компьютерные устройства. Именно она использовалась на заре компьютерной эры, однако сейчас уступила место более продвинутой – шестнадцатеричной.

Самая узнаваемая в мире, десятичная система представляет собой позиционную систему с основанием 10. Для обозначения чисел использует арабские цифры от 0 до 9.

Одна из самых популярных систем древности – двенадцатеричная – до сих пор используется в некоторых областях науки. Она же является основной у некоторых народов Тибета и Нигерии, но напоминает о себе и в других культурах. Например, в нашем языке сохранилось слово «дюжина», а в английском языке «dozen», которые отсылают нас к числу двенадцать. Основанием ее является 12. В качестве знаков используются буквы A и B и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Шестнадцатеричная система счисления – представляет позиционную положительную систему с основанием в 16 знаков. В качестве ее цифр используют буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F для обозначения чисел от десяти до пятнадцати и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Шестнадцатеричная система счисления используется в современных компьютерных программах, для кодировки шрифтов. Шестнадцатеричным числом во многих современных компьютерных графических программ кодируют цвета. Также шестнадцатеричным кодом шифруют цвет web-дизайнеры. Например, код #00ff00 обозначает зеленый цвет. Две буквы f в середине этого кода соответствуют числу 256 в десятичной системе счисления.

При работе с компьютерами чаще всего используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. И человек, и компьютер отлично справляются при работе в этих системах. Но отдельные случаи заставляют обратиться к менее популярным системам счисления. Такими системами являются семеричная, троичная и система счисления с основанием 32. Все арифметические действия в них не отличаются от привычных.

Защита от спама: одна тысяча шестьсот девяносто два (число): *

Древние системы счисления

Никто не знает как давно люди научились считать. Но почти наверняка нам известно как они это делали раньше. По крайней мере, с того момента когда числа начали записывать. Система счисления, это просто метод которым представляются числа, чаще всего для этого мы используем специальные знаки — цифры. Сейчас мы пользуемся (и то не всегда) десятичной системой, у нас 10 цифр, и основание тоже десятка. Количество символов и основание не обязательно должны быть равны. В клинописи, например, только один символ — клин.

Древние цифры

Самой старой системой счисления была единичная или унарная. В ней была только одна цифра — единица. Так можно было сосчитать все, что угодно, интуитивно понятно и логично. Один это — I два, это — II три — III. Все просто, один палец, один предмет, если пальцы закончатся, можно взять палочки или камешки. Для удобства цифру (одну цифру) можно группировать по три или по четыре — IIII IIII IIII. Пока не нужно считать много, очень удобно. Но древним людям не приходилось много считать, они были заняты выживанием.

Единичную систему счисления применяют и сегодня… Попав на необитаемый остров, вы будете отмечать дни именно в такой манере, зарубками на стволе дерева, например.

Двенадцатеричная система счисления

Она же Шумерская. Так как шумерская цивилизация счистится самой древней в мире, то математика скорее всего тоже самая древняя. Итак почему 12, а не 5 или 10 (по числу пальцев). На самом деле дело в пальцах, и у древних жителей Междуречья пальцев было тоже по 5 на каждой руке. Но считали они не пальцы, а фаланги. Посмотрите на картинку.

Прикасаясь большим пальцем к фалангам можно посчитать до 12. Эта система более удобна для счета чем современна десятичная. Например, удобнее делить на 3.

Записывались все числа при помощи всего двух цифр: единицы (вертикальный клин) и десятки (горизонтальный клин).

В десятичной системе 1/3 = 0,33333333 (3). А в двенадцатеричной деление на 3 — это целое число. Ведь «дюжина» делится на 1,2,3,4,6 и само на себя. А десять, только на 1,2,5 и на 10. Нет ничего сложного в том, чтобы разделить одну пиццу на троих, но как это сделать в десятичной системе? Разрезать на 10 равных частей и взять по сколько….Целые куски не получатся. А вот если основа «дюжина», то деление на три даст 0,4. Двенадцать кусочков по 4 каждому.

Система настолько удобная, что мы пользуемся ею до сих пор…

Шестидесятеричная система счисления

От 12, сразу прыгаем к 60. Вавилонское царство возникло на месте шумерского. Поэтому, 12-ти и 60-ти, это фактически одна и та же система. Откуда взялось 60? Опять таки из пальцев. На одной руке 12 фаланг, а на другой — 5 пальцев. Досчитав до 12 на одно руке загибаем палец на другой и считаем снова до 12. Два загнутых пальца — две дюжины.

И что же так считают? Время. На циферблате 12 часов по 60 минут в каждом.

Шумерские ученые первыми занялись астрономией, расчетом времени и календарем. Все остальные народы позаимствовали у них эти знания. И до сегодняшнего дня ничего не изменилось. Да и в окружности 360 градусов, а не 100, просто потому, что 360=12*30.

В Английской системе мер то же самое, в одном футе — 12 дюймов, в одном фунте — 12 унций. Во всем виноваты шумеры и удобство деления. Делить что-то на 2,3 и 4 приходится гораздо чаще, чем на 2 и на 5. Англичане точно знают, сколько это «треть фунта», а сколько будет «треть килограмма»?

Двадцатиричная система счисления

Ей пользовались индейцы майа. Но для записи использовались только три символа. Это «ноль», «единица» и «пять». Ноль изображался в виде ракушки, единица — точка, а пять — это линия. Чтобы записать число 18 делали так:

Выше написано буквально «три пятерки и три двойки», 5+5+5+3=18. В отличие от шумерской системы с двумя знаками для чисел, а индейцев Майа был самый настоящий ноль.

Десятичная система

Более молодая, чем вышеперечисленные. Использовалась в Египте, Древней Греции, Риме и, конечно, в Индии. Первыми, кто ее начал использовать были египтяне. Единица это — I двойка — II тройка — III…. Но для десятки был свой символ в виде дуги. Также и для сотни, тысячи, десяти тысяч.

Самым большой цифрой был миллион. Он изображался в виде человека с поднятыми вверх руками. Чтобы записать 12 делали так.

Впрочем, если написать «палочки» с другой стороны от дуги, число не изменится.

Древние греки тоже использовали десятичную систему, но вместо цифр — буквы. В самой древней, аттической системе египетский ряду цифр 1-10-100-1000 добавилась пятерка, которая записывалась буквой Π (пента, по-гречески «пять»). Интересно, что для денницы использовалась буква Ι.

Римская система счисления нам тоже хорошо известна. Она десятичная, так как пришла из Египта через Грецию. Единица римлян, такая же как и у египтян — I. Есть пятерка от греков — V. Многие историки считают, что такое изображение это упрощенный рисунок человеческой руки (пальцы не растопырены), а Х, это две скрещенные ладошки. У римлян, в отличие от египтян, позиция имеет значение. Так ХI — это одиннадцать, а IХ — девять.

После рассмотрения всех старых систем, становится понятно, как развивалась древняя арифметика. Когда в унитарной системе стало не хватать символов, вводились новые. Достаточно неудобно считать «палочки» IIII IIII IIII, когда их много, добавляли символы для 5 или 10. Индейцы Майа вместо палочек использовали камешки рисовали точки для единиц, а «черточка» это пять камешков. Все опять упирается в количество пальцев.

Источники:

http://vuzlit.ru/835908/istoriya_sistem_schisleniya
http://www.compkursy.ru/pro-tech/numbers.htm
http://interesnye-istorii.in.ua/ancient-number-systems/