Числа делятся на 5 без остатка. Признаки делимости, или что не поделили числа

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

• Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
• Признак делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
• Признак делимости на 4: число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
• Признак делимости на 5: если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
• Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
• Признак делимости на 8: число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
• Признак делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
• Признак делимости на 10: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Признак делимости на 5: примеры, доказательство

Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на 5 : сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.

Признак делимости на 5 , примеры

Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.

Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на 5 до начала вычислений, визуально.

По свойству делимости на 5 делится 0 , так как 0 делится на любое целое число и дает в результате 0 . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на 5 без остатка делится только 5 . Остальные числа от 1 до 9 на 5 без остатка не делятся.

Какие из чисел 74 , − 900 , 10 000 , − 799 431 , 355 , − 5 делятся на 5 ?

Решение

Из всех приведенных выше чисел 0 или 5 в записи справа содержат только числа – 900 , 10000 , 355 и – 5 . Эти числа делятся на 5 . Остальные числа на 5 без остатка не делятся.

Ответ: − 900 , 10 000 , 355 и – 5 делятся на 5 .

Доказательство признака делимости на 5

Приведем теорему и проведем ее доказательства.

Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 5 , является наличие в записи числа a справа цифр 0 или 5 .

Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение a 1 · 10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .

Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число a делится на целое число b , то произведение m · a , где m – любое целое число, делится на b . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число 10 делится на 5 , то и произведение a 1 · 10 тоже делится на 5 .

Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.

Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .

Примером записи может быть: 54 327 = 5 432 · 10 + 7 .

Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.

Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.

Другие случаи делимости на 5

Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на 5 .

Делится ли на 5 значение выражения 10 2 · n − 5 при некотором натуральном n ?

Решение

Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения n в исходное выражение. Получаем: n = 1 имеем 10 2 · 1 − 5 = 95 , при n = 2 – 10 2 · 2 − 5 = 9 995 , при n = 3 – 102 · 3 − 5 = 999 995 , … . Получается, что независимо от значения n мы получаем запись, которая справа содержит цифру 5 . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение 10 2 · n − 5 делится на 5 при любом натуральном n .

Ответ: Да.

Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .

Докажите, что 6 n + 10 n + 14 делится на 5 при любом натуральном n .

Решение

Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения 6 n + 10 n + 14 на 5 при n = 1 . Получаем: 6 1 + 10 · 1 + 14 = 30 . Число 30 содержит на конце записи цифру 0 , а это значит, что оно делится на 5 без остатка.

Теперь предположим, что значение выражения 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при значении n = k .

Фактически, нам нужно установить, что значение выражения 6 k + 10 k + 14 делится на 5 .

Докажем, что 6 n + 10 n + 14 при n = k + 1 делится на 5 .

6 k + 1 + 10 · ( k + 1 ) + 14 = = 6 · 6 k + 10 k + 24 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) – 50 k – 60 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) – 5 · ( 10 k + 12 )

Согласно свойству делимости, вся разность делится на 5 , так как выражение 6 · 6 k + 10 k + 14 делится на 5 и выражение, содержащее 5 в качестве множителя, 5 · 10 k + 12 также делится на 5 .

Ответ: 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при любом натуральном n методом математической индукции.

Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .

Делится ли 6 n + 10 n + 14 ​​​​​​ на 5 при натуральных n ?

Решение

Мы можем представить 6 как сумму 5 + 1 . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:

6 n + 10 n + 14 = ( 5 + 1 ) n + 10 n + 14 = = ( C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 · 1 n – 2 + C n n – 1 · 5 · 1 n – 1 + C n n · 1 n ) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n – 1 + C n 1 · 5 n – 2 + … + C n n – 2 · 5 1 + 3 n + 3

Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на 5 при любом натуральном n , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель 5 .

Ответ: Да, делится.

Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на 5 при некотором n : мы можем доказать, что данное выражение делится на 5 при при n = 5 · m , n = 5 · m + 1 , n = 5 · m + 2 , n = 5 · m + 3 и n = 5 · m + 4 , где m – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на 5 при любом целом n .

Докажите, что n 5 − n делится на 5 при любом целом n .

Решение

Раскладываем данное выражение на множители: n 5 − n = n · ( n 4 − 1 ) = n · ( n 2 − 1 ) · ( n 2 + 1 ) = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) .

Очевидно, что первый множитель n при n = 5 · m делится на 5 . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на 5 .

Множитель n − 1 = 5 · m при n = 5 · m + 1 делится на 5 . Следовательно, все произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 согласно свойству делимости.

Множитель n 2 + 1 при n = 5 · m + 2 будет равен 25 · m 2 + 20 · m + 5 = 5 · ( 5 · m 2 + 4 · m + 1 ) . Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .

Множитель n + 1 при n = 5 · m + 4 будет равен 5 · m + 5 .

Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .

Ответ: n 5 − n = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 при любом целом n .

Признаки делимости

Привет всем! В предыдущей статье я сказал, что для разложения на множители полезно знать признаки делимости чисел. Сегодня предлагаю Вашему вниманию статью на эту тему. Чтобы многократно не повторяться, сразу скажу: говоря, что одно число делится или не делится на другое, будет иметься ввиду – без остатка.

Нередко в арифметике требуется узнать, делится ли одно число на другое, не производя при этом самой операции деления. Если есть калькулятор под рукой, то проверить можно довольно быстро – просто поделив число. А если нет? Именно для подобных случаев математики ещё в давние времена разработали для некоторых чисел признаки делимости. Это такие правила, по которым можно определить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости существуют для многих чисел, что значительно облегчает решение некоторых арифметических задач. В школьной программе изучают лишь малую часть признаков делимости. Во-первых, их изучают только для узкого круга чисел: чаще всего, это 2, 3, 5, 9 (гораздо реже в некоторых программах можно встретить 4, 6, 8, 11 и др.). Во-вторых, для некоторых чисел существует больше одного признака. Сегодня я расскажу Вам о признаках делимости для чисел от 2 до 11. Если для числа существует больше одного признака, то я буду описывать самый простой для понимания (конечно, на мой взгляд).

Признак делимости на 2. Он очень простой. На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8. Такие числа называются чётными. Все остальные на 2 не делятся – это нечётные числа. Например, число 358 – чётное, следовательно, оно делится на 2.

Признак делимости на 3. Если сумма всех цифр числа делится на 3, то это число делится на 3. Например, число 1593078 делится на 3, т. к. 1+5+9+3+0+7+8=33, а 33 делится на 3.

Признак делимости на 4. Если число, составленное из двух последних цифр числа, делится на 4, то это число делится на 4. Например, число 896324 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 5. Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5. Значит, 2895 делится на 5, т. к. оно оканчивается на 5.

Признак делимости на 6. Этот признак комбинируется из признаков делимости на 2 и 3, так как 6 кратно им. Если число чётно и сумма его цифр делится на 3, то оно делится на 6. Например, число 25674 делится на 6, т. к. оно чётное и 2+5+6+7+4=24, а 24 делится на 3.

Признак делимости на 7. В большинстве школ его не изучают, но я расскажу Вам о нём. Определение даже самого простого признака сложновато для понимания. Поэтому, для упрощения, я его разобью на этапы: 1) разбить число на группы по три цифры в каждом, начиная с разряда единиц, справа налево; 2) получившиеся числа, стоящие на чётных местах (опять же, считая справа налево), взять со знаком “плюс”, а на нечётных местах – со знаком “минус”; 3) произвести сложение и вычитание; 4) взять модуль получившегося числа (это на случай если число получилось отрицательным); 5) если окончательный результат делится на 7, то и исходное число делится на 7. Для примера возьмём число 478347504957. Разбиваем его на группы по три цифры справа налево: 478|347|504|957. Получили четыре трёхзначных числа. Теперь числа, стоящие на чётных местах, берём со знаком “плюс”: +478, +504, а на нечётных – со знаком “минус”: -347, -957. Дальше производим вычисления (первый плюс можно опустить): 478+504-347-957=-322. Получили отрицательное число; значит, берём модуль этого числа: |-322|=322. Теперь проверяем делится ли оно на 7: 322/7=46. Как видим, делится. Значит, и 478347504957 делится на 7.

Признак делимости на 8. Если число, составленное из трёх последних цифр числа, делится на 8, то это число делится на 8. Как видите, почти то же самое, что и для 4, только берутся не две последние цифры, а три. Например, число 848430264 делится на 8, т. к. 264 делится на 8.

Признак делимости на 9. Если сумма всех цифр числа делится на 9, то это число делится на 9. Один в один, как признак делимости на 3. Например, число 39875302413 делится на 9, т. к. 3+9+8+7+5+3+0+2+4+1+3=45, а 45 делится на 9.

Признак делимости на 10. Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10. Самый простой признак 🙂 Например, 269720398710 делится на 10, т. к. оно оканчивается на 0.

Признак делимости на 11. Если сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц), делится на 11, то оно делится на 11. Например, число 18308565 делится на 11, т. к. 18+30+85+65=198, в свою очередь, 1+98=99 – делится на 11.

Я бы с удовольствием продолжил и дальше 🙂 Но, как я Вам обещал, я поделюсь признаками делимости для чисел от 2 до 11. Иначе, статья будет бесконечной 🙂 Кстати, если хорошо подумать, можно для некоторых чисел легко составить свои признаки делимости, зная уже вышеперечисленные, комбинируя их. Например, для 12, 15, 18, и т. д.

Надеюсь, Вам понравилась статья, и Вы из неё узнали для себя что-то новое и полезное.

Спасибо, что прочитали! Буду благодарен за комментарии, лайки, подписки.

Источники:

http://tehtab.ru/guide/guidemathematics/mathsfortheyoungest/dividingsimplefigures/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznak-delimosti-na-5/
http://zen.yandex.ru/media/math4u/priznaki-delimosti-5c989a5c7bdd7600b334e1d5