Актуальная бесконечность. Актуальная и потенциальная бесконечность

Бесконечность: потенциальная и актуальная

С точки зрения математики бесконечно большая величина – это величина, которая все время возрастает, но никогда не достигает какого‑либо определенного значения: «n(t)»? при «t»?. Такая бесконечность называется потенциальной, потому что она существует лишь в принципе; ее геометрический образ – прямая, неограниченно продолженная в обе стороны. Но математики могут прекрасно обходиться и без часов, необходимых для измерения времени, тайно содержащегося в символе «n»? что позволяет им обходиться для обозначения бесконечно большой величины упрощенной записью: n=?. Такая бесконечность называется актуальной, поскольку она как бы завершена к моменту, когда мы ей воспользовались; ее геометрический образ – любой конечный отрезок прямой, состоящей из бесконечного множества бесконечно малых математических точек.

Какая бесконечность более «правильная»? По сути дела, эта проблема была поставлена еще в знаменитых апориях Зенона (например, «Ахилл и черепаха»), но спор математиков (а также логиков и философов) на эту тему не завершен до сих пор. А вот физики зачастую не делают никаких различий между потенциальной и актуальной бесконечностями и очень раздражаются, когда в результате вычислений получают бесконечно большие величины, называемые расходимостями. И делают грубейшую ошибку, подменяя их просто очень большими, но конечными числами.

Вместе с тем не следует забывать, что для экспериментатора бесконечно больших (равно как и бесконечно малых) величин действительно не существует, он всегда получает конечные результаты, а хвост бесконечности упрятывает в ошибку с помощью теории вероятности. Что же касается бесконечностей, с которыми имеет дело теоретик, то к ним можно относиться двояко: считать их либо потенциальными, либо актуальными.

Потенциальная бесконечность поддается так называемой калибровке, ее можно в любой момент приравнять к нулю и начать отсчет сызнова, с t0=0; актуальная бесконечность такой процедуре не поддается, поскольку вообще существует вне времени и, соответственно, вне реальной физики.

Законы Ньютона

Модель Ньютона – это одно тело, движущееся в абсолютном бесконечном пространстве равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на это тело не подействует сила (первый закон механики) или два тела, действующих друг на друга с равными и противоположно направленными силами (третий закон механики); сама же сила считается просто причиной ускорения движущихся тел (второй закон механики), то есть, как бы существует сама по себе и неизвестно откуда берется. По Ньютону, все взаимодействия происходят мгновенно, то есть с актуально бесконечно большой скоростью; однако для обитателей физического мира мгновенных взаимодействий быть не может, поскольку 1/n(t)>0 при n(t)>? только в том случае, если t>?. Если соударения тел происходят действительно мгновенно, то есть за актуально бесконечно малый промежуток времени, то эти тела никогда не могли бы и никогда не смогут находиться на конечных расстояниях друг от друга, а должны всегда составлять единое целое, существующее вне времени и пространства. Наш многообразный физический мир должен представляться бесконечно малой точкой, внутри которой не существует ни причинности, ни законов сохранения, он актуально бесконечно мал и поэтому нелокален – в нем все явления связаны, скоррелированы друг с другом, потому что происходят в одно и то же время, в одном и том же месте, в одной бесконечно малой точке. Но с нашей точки зрения как конечных обитателей физического мира (то есть при взгляде на него как бы «изнутри»), этот мир потенциально бесконечен и, следовательно, непрерывно расширяется (n>?), но не рассеивается, потому что его расширение сопровождается эволюцией, а обитатели конечного физического мира не могут произвести полного обращения времени и вынуждены скрывать свою слабость с помощью теории вероятностей.

Иначе говоря, наш физический мир необратим только потому, что он локален, конечен во времени и в пространстве и проблема возникновения макроскопической необратимости из микроскопической обратимости есть ложная проблема, проистекающая из неверного понимания смысла слов языка, на котором классическая механика говорит с природой.

Теорема Дж. Белла

Согласно теореме Дж. Белла, всякая теория, выводы которой подтверждаются физическими экспериментами, не может быть одновременно локальной и детерминистской. Классическая механика описывает мир в духе строгого детерминизма и поэтому оказывается, по сути дела, нелокальной теорией, так как допускает возможность мгновенных взаимодействий. А классическая термодинамика локальна (иначе какой бы смысл имели законы сохранения?), и поэтому вероятностное описание происходящих в ней процессов, приводящее к выводу о существовании «стрелы времени», оказывается совершенно неизбежным. Получается, что теорема Белла реабилитирует Н‑теорему Больцмана!

Динамический хаос поддается строго детерминированному математическому описанию, и поэтому вся созидающая среда в целом, в которой он существует, должна быть нелокальной, а все происходящие в ней процессы должны быть скоррелированными, согласованными друг с другом, несмотря на отсутствие обычных физических связей (обычных «сил»). Экспериментальная физика локальна, и поэтому ей приходится пользоваться для описания наблюдаемых явлений квантовой теорией и теорией относительности, не поддающихся истолкованию с точки зрения так называемого здравого смысла, требующего строго детерминированного взгляда на мир.

Наш мир столь сложен для восприятия только потому, что он познается человеком одновременно и с помощью разума, как бы «извне», и «изнутри», с помощью органов чувств, дополняемых различными приборами. В первом случае человек ставит себя в положение всемогущего ТВОРЦА; во втором случае он оказывается лишь исчезающе малой и бесконечно слабой пылинкой.

Аристотель о потенциальной и актуальной бесконечности

В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга различения потенциальной и актуальной бесконечности, что он мог сделать, поскольку ввел в философию понятия возможности (потенциальности) вообще и действительности (актуальности) вообще. Представление о бесконечном было уже присуще людям во времена Аристотеля. Ему оставалось лишь найти причины этого представления и подвергнуть его мощному воздействию своего аналитического ума.

Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность.

Аристотель отрицает актуальную бесконечность, под которой он понимает бесконечное чувственно воспринимаемое тело и вeличину. Он признает лишь потенциальную бесконечность. Величина может быть лишь потенциально бесконечной, превосходя все своей малостью, будучи непрерывно делимой (в отличие от числа, которое, имея предел в направлении к наименьшему, не имеет предела, будучи мыслимым, в направлении к наибольшему, величина имеет предел в отношении к наибольшему, но не имеет предела в отношении к наименьшему). Но и число не может быть актуально бесконечным.

Аристотель понимает бесконечность как процесс – не может быть бесконечного числа, но всегда может быть число, большее данного. Не может быть и наименьшей величины, но всегда может быть величина, меньшая данной. Эти весьма плодотворные мысли Аристотеля могли бы стать основой дифференциального исчисления, но так и не стали. Высшая математика также отрицает бесконечно малое и бесконечно большое как законченное, застывшее, она понимает бесконечно малое как то, что может быть меньше любой постоянной величины, а бесконечно большое как то, что может быть больше любой постоянной величины. Подводя этому итог, Аристотель говорит: “То, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконечное”. Все это не укладывается в ту статическую картину мира, о которой мы говорили выше в связи с математикой. Поэтому Аристотель относится к бесконечности со страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно.

Начнем с понятия бесконечности как результата сложения конечных величин. Вводя это понятие, Аристотель сразу же отбрасывает бесконечность пространства. Но время – бесконечно. С указанным различием связаны понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Аристотель отвергает возможность чувственно воспринимаемого бесконечного по размерам тела (актуально бесконечного тела), но допускает существование потенциальной бесконечности. Ее нельзя понимать в том смысле, в каком, например, статуя потенциально содержится в меди. Такой взгляд означал бы, что потенциальная бесконечность в конце концов превращается в актуальную. Потенциально бесконечное все время остается конечным и все время меняется, причем этот процесс изменения может продолжаться как угодно долго.

“Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным”.

Актуальная бесконечность – это бесконечные размеры тела в тот момент, когда оно фигурирует как чувственно воспринимаемый объект. Иными словами, это бесконечное пространственное расстояние между пространственными точками, связанными в единый объект в некоторый момент времени. Это – чисто пространственное, одновременное многообразие. Таким одновременным многообразием бесконечных размеров реальное тело, по мнению Аристотеля, не может быть. Реальным эквивалентом бесконечности может быть бесконечное движение, процесс, происходящий в бесконечном времени и состоящий в бесконечном возрастании некоторой величины, все время остающейся конечной. Таким образом, реальным эквивалентом обладает понятие потенциальной бесконечности, протекающей во времени. Нет бесконечного “теперь”, но есть бесконечная последовательность конечных “теперь”.

Актуальная бесконечность – это некоторая обладающая реальным физическим бытием величина, достигшая бесконечного значения в данный момент. Если выражение “данный момент” понимать буквально, то под актуально бесконечным объектом следует подразумевать мир, существующий в течение мгновения, иначе говоря, пространственное многообразие. Аристотель, говоря об актуальной бесконечности, имеет обычно в виду бесконечное пространство, вернее, бесконечную протяженность реального чувственно постигаемого тела.

“А что бесконечное существует, уверенность в этом проистекает у исследователей прежде всего из пяти [оснований]: [1] из времени (ибо оно бесконечно); [2] из разделения величин (ведь и математики пользуются бесконечным); [3] далее, что только в том случае не прекратится возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее; [4] далее, из того, что ограниченное всегда граничит с чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз одно всегда необходимо граничит с другим [5]. Но больше всего и главнее всего – что составляет общую трудность для всех – на том основании, что мышление [никогда] не останавливается [на чем-нибудь] и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что находится за небом. Рассмотрение бесконечного имеет свои трудности, так как и отрицание его существования, и признание приводят ко многим невозможным [следствиям].

Далее, каким образом существует бесконечное: как сущность или как свойство, само по себе присущее некой природе? Или ни так, ни этак, но все же бесконечное существует – или как бесконечное [по величине], или как бесчисленное множество. Для физика же важнее 2

Актуальная и потенциальная бесконечность

Бесконечность недостижима, следовательно, ее невозможно измерить. У нее отсутствует то, что древние греки именовали метрон, поэтому она принадлежит к категории хаоса. По этой причине Платон и Пифагор называли бесконечность апейрон. Позднее Анаксимандр придал этому слову смысл, схожий с тем, что подразумеваем под этим понятием мы, — «беспредельный».

Однако наиболее смело и систематично с проблемой бесконечности работал Аристотель, определив в своем труде « Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность — неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность — реально существующую величину, не имеющую конечной меры. Математики долго спорили об этих определениях, пока Кантор не доказал математически существование бесконечного числа актуальных бесконечностей с помощью инструмента, который создал сам — теории множеств.

Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или по меньшей мере неинтуитивны.
Возможно, более уместно (но тоже не совсем удобно) было бы называть актуальную бесконечность теоретической, а потенциальную бесконечность — истинной бесконечностью.

Рассмотрим разницу между этими понятиями на примере. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… бесконечна. Изначально никто не подвергает это сомнению, поскольку для любого сколь угодно большого числа n мы всегда можем получить следующее число, n+1. Но одно дело — иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое — сделать это в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. «Иметь возможность выполнить действие» определяет потенциальную бесконечность, полученный результат такого действия — актуальную бесконечность.

Покинем на время мир математики, чтобы в более свободной форме объяснить разницу между этими понятиями. Предположим, что я нарисовал перед собой на полу прямую. Если я сделаю шаг вперед, то перешагну ее. Это потенциально возможное действие. Когда я выполнил это действие и оказался по другую сторону прямой, я актуализировал этот потенциал. Существует четкая разница между потенциально возможным действием и совершенным в действительности. Например, может случиться так, что я соберусь начать действие, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не даст мне перешагнуть прямую.

То, что никто не может записать все целые числа, — неоспоримый факт. Также верно, что никто никогда не видел двух параллельных прямых, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь отрезки этих прямых. Значит ли это, что параллельные прямые не существуют? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей знаменитой книге «Начала» пытался рассматривать эту тему: упоминая прямые, он говорил об «отрезках, длина которых может быть произвольно большой». Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.

Источники:

http://helpiks.org/6-50057.html
http://studbooks.net/649490/filosofiya/aristotel_potentsialnoy_aktualnoy_beskonechnosti
http://matemonline.com/2013/05/actual-and-potential-infinity/